ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 102: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

• Введём обозначения для вершин тетраэдра и середин рёбер основания.
• Докажем параллельность плоскости сечения третьему ребру основания, используя свойство средней линии треугольника.
• Определим форму сечения и вычислим его периметр.
• Вычислим площадь полученного сечения.

1. Доказательство параллельности

Пусть дан правильный тетраэдр SABC, где S — вершина, а ABC — основание. Пусть M и N — середины рёбер AB и AC соответственно. Плоскость β проходит через точки M, N и вершину S. Нам нужно доказать, что эта плоскость параллельна третьему ребру основания BC.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MN соединяет середины двух сторон (AB и AC), следовательно, по теореме о средней линии треугольника, MN
[parallelBC.

Прямая MN лежит в плоскости β (так как M∈β и N∈β). Прямая BC не лежит в плоскости β (так как B и C не принадлежат плоскости, проходящей через S,M,N, если бы они лежали, то весь тетраэдр был бы вырожденным или плоским, что противоречит условию).

По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, лежащая в плоскости, параллельна другой прямой, не лежащей в этой плоскости, то вторая прямая параллельна данной плоскости. Следовательно, BC
[parallelβ.

2. Анализ сечения и вычисление периметра

Сечением тетраэдра плоскостью β является треугольник SMN. Так как все рёбра тетраэдра равны a=20 см, грани являются правильными треугольниками.

Найдём длины сторон треугольника SMN:

1. MN — средняя линия △ABC, поэтому MN=
   frac12BC=
   frac12
   cdot20=10 см.
2. SM — медиана (и высота) правильного треугольника SAB. Длина медианы равна
   fraca
   sqrt32. Тогда SM=
   frac20
   sqrt32=10
   sqrt3 см.
3. SN — аналогично медиана правильного треугольника SAC. Тогда SN=
   frac20
   sqrt32=10
   sqrt3 см.

Периметр сечения P_SMN равен сумме длин его сторон:

3. Вычисление площади сечения

Треугольник SMN является равнобедренным с боковыми сторонами 10
sqrt3 см и основанием 10 см. Найдём высоту h, опущенную из вершины S на основание MN.

Пусть K — середина MN. Тогда MK=
frac12MN=5 см. В прямоугольном треугольнике SMK гипотенуза SM=10
sqrt3, катет MK=5. По теореме Пифагора найдём катет SK (высоту h):

Площадь треугольника SMN равна:

Проверка:

Логика доказательства параллельности корректна. Расчёты длин медиан правильного треугольника со стороной 20 дают 10
sqrt3. Периметр 10(2
sqrt3+1) совпадает с ключом. Площадь рассчитана верно через высоту равнобедренного треугольника. Результат 25
sqrt11 совпадает с ключом.