ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 101: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

Для доказательства того, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и делятся пополам, воспользуемся методом векторов или свойствами параллелограмма. Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть M и N — середины рёбер AB и CD, а P и Q — середины рёбер AC и BD. Нам нужно доказать, что отрезки MN и PQ имеют общую середину.

Вычисление и доказательство:

Введём произвольную точку O как начало координат (или просто используем векторное исчисление). Выразим векторы, идущие к серединам рёбер через векторы вершин тетраэдра a,b,c,d.

1. Середина ребра AB (M): m=a+b/2

2. Середина ребра CD (N): n=c+d/2

3. Середина ребра AC (P): p=a+c/2

4. Середина ребра BD (Q): q=b+d/2

Найдём середину отрезка MN. Обозначим её за X: x=m+n/2=a+b/2+c+d/2/2=a+b+c+d/4

Теперь найдём середину отрезка PQ. Обозначим её за Y: y=p+q/2=a+c/2+b+d/2/2=a+b+c+d/4

Мы видим, что x=y. Это означает, что середины отрезков MN и PQ совпадают в одной точке. Следовательно, эти отрезки пересекаются в этой общей середине.

Проверка и геометрическая интерпретация:

Рассмотрим четырёхугольник MPNQ. Вектор MP=p-m=a+c/2-a+b/2=c-b/2. Вектор QN=n-q=c+d/2-b+d/2=c-b/2. Так как MP=QN, то стороны MP и QN равны и параллельны. Значит, MPNQ — параллелограмм. Диагоналями этого параллелограмма являются отрезки MN и PQ. По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Что и требовалось доказать.