ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 100: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства. Доказательство состоит из двух частей: сначала мы покажем существование такой плоскости, затем её единственность. Для существования будем использовать свойство параллельности прямой и плоскости (если прямая вне плоскости параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости). Для единственности предположим наличие двух таких плоскостей и придем к противоречию со скрещивающимся характером данных прямых или с аксиомами геометрии.

Существование плоскости. Пусть даны две скрещивающиеся прямые a и b, а также точка A. Рассмотрим два случая расположения точки A относительно этих прямых. 1) Если точка A не лежит ни на прямой a, ни на прямой b. Проведем через точку A прямую a₁, параллельную прямой a (a₁∥a), и прямую b₁, параллельную прямой b (b₁∥b). Так как a и b скрещиваются, то a₁ и b₁ пересекаются в точке A и лежат в одной плоскости β. По признаку параллельности прямой и плоскости, так как a∥a₁ и a₁β, то a∥β. Аналогично, так как b∥b₁ и b₁β, то b∥β. Таким образом, плоскость β параллельна обеим прямым. Это удовлетворяет первому варианту условия задачи («плоскость... параллельна данным прямым»).

2) Если точка A лежит на одной из прямых, например, на прямой a (Aβa). Тогда любая плоскость, проходящая через a, будет содержать эту прямую. Нам нужно построить плоскость β, проходящую через a и параллельную b. Проведем через точку A прямую b₁, параллельную прямой b (b₁βb). Плоскость β, определяемая пересекающимися прямыми a и b₁, проходит через прямую a и параллельна прямой b (так как bβb₁ и b₁ββ). Это удовлетворяет второму варианту условия («проходит через одну из них и параллельна другой»).

Единственность плоскости. Рассмотрим случай 1 (точка A вне прямых). Допустим, существует другая плоскость β′, проходящая через A и параллельная обеим прямым a и b. В плоскости β′ можно провести прямые, параллельные a и b, которые будут совпадать с a₁ и b₁ по теореме о единственности параллельной прямой, проходящей через данную точку. Следовательно, плоскость β′ должна содержать a₁ и b₁, то есть совпасть с β. Противоречие исключает наличие второй такой плоскости. Рассмотрим случай 2 (точка A на прямой a). Пусть существует вторая плоскость β′, проходящая через a и параллельная b. В плоскости β′ через точку A проходит прямая b′, параллельная b. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой b (аксиома параллельности). Значит, b′=b₁. Поскольку плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми (a и b₁), то β′=β. Единственность доказана.