ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 96: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства:

Пусть дана плоскость α и прямая b, параллельная этой плоскости (b∥α). Также даны две параллельные прямые a₁ и a₂, которые пересекают плоскость α в точках A₁ и A₂ соответственно, а прямую b — в точках B₁ и B₂. Нам нужно доказать, что отрезки A₁B₁ и A₂B₂ равны.

Ход решения:

1. Рассмотрим прямые a₁ и a₂. По условию они параллельны (a₁∥a₂).
2. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как β.
3. Прямая a₁ лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке A₁. Значит, точка A₁ принадлежит пересечению плоскостей α и β.
4. Аналогично, прямая a₂ лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке A₂. Значит, точка A₂ также принадлежит пересечению плоскостей α и β.
5. Следовательно, линия пересечения плоскостей α и β проходит через точки A₁ и A₂. Обозначим эту линию пересечения как прямую c=α∩β. Тогда A₁∈c и A₂∈c.
6. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямой b и плоскости β. Прямая b содержит точки B₁ и B₂, которые лежат на прямых a₁ и a₂ соответственно. Поскольку a₁⊂β и a₂⊂β, то точки B₁ и B₂ принадлежат плоскости β. Следовательно, вся прямая b лежит в плоскости β (b⊂β).
7. По условию задачи прямая b параллельна плоскости α (b∥α).
8. Вспомним признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, лежащая в некоторой плоскости, параллельна другой плоскости, то она параллельна линии пересечения этих двух плоскостей. В нашем случае: прямая b лежит в плоскости β и параллельна плоскости α. Линия пересечения плоскостей β и α — это прямая c. Значит, b∥c.
9. Рассмотрим четырехугольник A₁B₁B₂A₂, который лежит в плоскости β.
   • Стороны A₁B₁ и A₂B₂ лежат на параллельных прямых a₁ и a₂, значит, A₁B₁∥A₂B₂.
   • Стороны A₁A₂ (часть прямой c) и B₁B₂ (часть прямой b) параллельны, так как мы доказали, что b∥c.
10. Четырехугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон является параллелограммом. Следовательно, A₁B₁B₂A₂ — параллелограмм.
11. В параллелограмме противоположные стороны равны. Поэтому A₁B₁=A₂B₂.

Проверка и вывод:

Мы использовали аксиомы стереометрии и признаки параллельности. Логическая цепочка верна: из параллельности секущих прямых следует существование общей плоскости, из параллельности прямой и плоскости следует параллельность этой прямой линии пересечения, что приводит к образованию параллелограмма. Таким образом, утверждение доказано: отрезки параллельных прямых, заключённые между плоскостью и параллельной ей прямой, действительно равны.