ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 92: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом от противного или прямым рассуждением через построение вспомогательной плоскости. Нам дано: прямая a параллельна прямой b, и плоскость β (в условии обозначена как β, но далее речь идет о плоскости β относительно прямой b? Нет, в условии сказано: «Плоскость β и прямая a параллельны прямой b». Это странная формулировка. Обычно говорят: «Прямая a параллельна прямой b, а плоскость β проходит через...» или «Плоскость β параллельна прямой b». Перечитаем внимательно условие из источника: «Плоскость β и прямая a параллельны прямой b. Требуется доказать, что прямая a либо параллельна плоскости β, либо лежит в ней.» Здесь есть логическая неточность в стандартных определениях: плоскость не может быть «параллельна прямой» в том же смысле, что две прямые, если она её не пересекает. Но обычно под «плоскость параллельна прямой» понимают отсутствие общих точек. Однако, если прямая a параллельна прямой b, то они лежат в одной плоскости или скрещиваются? Параллельные прямые всегда компланарны. Давайте разберем структуру: 1. Дано: anot→b (прямая a параллельна прямой b). 2. Дано: Плоскость β параллельна прямой b (bnot→β, т.е. b∉β и bnot→β — пересечения нет). 3. Доказать: anot→β или a→β. Если бы прямая a пересекала плоскость β в точке M, то эта точка M принадлежала бы и прямой a. Так как anot→b, то через точку M и прямую b можно провести единственную плоскость θ. В этой плоскости θ прямая a параллельна b. Если a пересекает β, то точка пересечения M лежит на a. Значит, M лежит в плоскости θ. Также M лежит в плоскости β. Следовательно, M лежит на линии пересечения плоскостей θ и β. Пусть это линия l. Тогда l проходит через M. В плоскости θ у нас есть прямые a и b, где anot→b. Прямая b параллельна плоскости β, значит, b не имеет общих точек с β. Линия пересечения l=θ→β лежит в β, значит, l не имеет общих точек с b (так как bnot→β). В плоскости θ мы имеем три прямые: a,b,l. Известно, что anot→b. Если a пересекает β в точке M, то M лежит на l. Значит, a и l пересекаются в M. Но тогда a не может быть параллельна b, если l параллельна b? Нет, это не обязательно. Более простой путь: Рассмотрим взаимное расположение прямой a и плоскости β. Возможны три случая для прямой и плоскости: 1) Прямая лежит в плоскости (a→β). 2) Прямая параллельна плоскости (anot→β). 3) Прямая пересекает плоскость. Нужно исключить случай 3. Допустим, прямая a пересекает плоскость β в точке P. Так как anot→b, то прямые a и b определяют некоторую плоскость θ (через параллельные прямые проходит единственная плоскость). Точка P лежит на прямой a, следовательно, P→θ. Также по предположению P→β. Значит, точка P принадлежит пересечению плоскостей θ и β. Обозначим линию пересечения этих плоскостей за c: c=θ→β. Прямая c лежит в плоскости β. По условию, прямая b параллельна плоскости β. Это означает, что b не имеет общих точек с любой прямой, лежащей в β, если только эти прямые не параллельны b? Нет. Определение параллельности прямой и плоскости: прямая и плоскость не имеют общих точек. Следовательно, b→β=→ (пустое множество). Так как c→β, то b и c не могут иметь общих точек. Но b и c обе лежат в плоскости θ (так как c — пересечение θ и β, значит c→θ; а b→θ по построению). В плоскости θ две прямые b и c не имеют общих точек. Значит, bnot→c. Итак, в плоскости θ мы имеем: anot→b и cnot→b. Из аксиомы параллельности следует, что anot→c. Однако, мы предположили, что a пересекает β в точке P, и P лежит на линии пересечения c. Значит, a и c имеют общую точку P. Получаем противоречие: anot→c и a→c=P. Следовательно, предположение неверно: прямая a не может пересекать плоскость β. Таким образом, остаются только два варианта: либо a параллельна β, либо a лежит в β.