ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 95: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства. Для решения задачи воспользуемся методом от противного. Предположим обратное: пусть плоскость β не пересекает плоскость α. В таком случае эти две плоскости должны быть параллельны (α∥β). Далее проанализируем взаимное расположение прямой a и этих плоскостей, опираясь на условие задачи.

Ход рассуждений. По условию прямая a параллельна плоскости α (a∥α). Если предположить, что α∥β, то по свойству параллельных плоскостей любая прямая, параллельная одной из них, также параллельна другой или лежит в ней. Однако нам дано, что плоскость β пересекает прямую a. Это означает, что у прямой a и плоскости β есть общая точка. Прямая не может одновременно пересекать плоскость и быть ей параллельной (или лежать в ней без пересечения с другими объектами в контексте аксиом). Более строго: если бы α∥β, то расстояние между ними постоянно. Прямая a, будучи параллельной α, сохраняет постоянное расстояние до α. Если она пересекает β, это возможно только в том случае, если β «наклонена» к a, но главное противоречие возникает при рассмотрении положения прямой относительно двух параллельных плоскостей. Давайте используем более фундаментальное утверждение: если прямая a параллельна плоскости α, то она не имеет общих точек с α. Допустим, α∥β. Тогда плоскости α и β не имеют общих точек. Но прямая a пересекает β в некоторой точке M. Точка M принадлежит β. Так как α∥β, то M∉α. Это не создает прямого противоречия с тем, что a∥α. Пересмотрим логику. Нужно доказать, что β пересекает α. Предположим, что β не пересекает α. Значит, β∥α. Так как a∥α, то через прямую a можно провести плоскость γ, которая пересечет плоскость α по прямой b, причем a∥b. Рассмотрим положение прямой a относительно плоскости β. По условию a пересекает β. Если α∥β, то любая прямая, лежащая в α или параллельная ей, не может пересекать β? Нет, это неверно. Например, прямая может пересекать одну из параллельных плоскостей, но тогда она обязательно пересечет и другую, если она не параллельна им обеим. Вспомним теорему: Если одна из двух параллельных плоскостей пересекает данную прямую, то и другая плоскость также пересекает эту прямую. Допустим, α∥β. Нам дано, что β пересекает a. Следовательно, по указанному выше свойству, α также должна пересекать a. Но по условию задачи a∥α, то есть a и α не имеют общих точек. Получаем противоречие: прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и быть ей параллельной. Значит, наше предположение о том, что α∥β, ложно.

Вывод. Так как предположение о параллельности плоскостей α и β привело к противоречию с условием a∥α, то плоскости α и β не могут быть параллельны. Поскольку они не совпадают (так как a лежит вне α, а пересекает β, то a не может лежать в α, если бы плоскости совпали, то a пересекала бы α, что запрещено), единственная возможная конфигурация — их пересечение. Таким образом, плоскость β пересекает плоскость α. Доказано.