ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 91: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

• Обозначим плоскость, проходящую через прямую a и точку M, как α, а плоскость, проходящую через прямую b и точку M, как β.
• Так как точка M принадлежит обеим плоскостям (M∈α и M∈β), то эти плоскости имеют общую точку. Следовательно, они пересекаются по некоторой прямой, обозначим её l.
• Необходимо доказать, что прямая l параллельна прямым a и b. Для этого воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости или свойством линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из параллельных прямых.

Доказательство:

1. Рассмотрим плоскость α, которая содержит прямую a и точку M. Прямая b не лежит в плоскости α, так как по условию точка M не лежит в плоскости прямых a и b, а прямые a и b параллельны (значит, они задают единственную плоскость, если бы лежали в одной). Более строго: если бы b лежала в α, то α содержала бы две параллельные прямые a и b, значит, α совпадала бы с плоскостью этих прямых, но тогда точка M лежала бы в этой плоскости, что противоречит условию. Значит, bnot⊂α.
2. Так как a∥b и a⊂α, то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости α (b∥α).
3. Теперь рассмотрим плоскость β, которая проходит через прямую b и точку M. Плоскости α и β пересекаются по прямой l (α∩β=l).
4. Прямая b лежит в плоскости β (b⊂β) и параллельна плоскости α (b∥α).
5. Согласно теореме о пересечении плоскостей: если прямая, лежащая в одной из двух пересекающихся плоскостей, параллельна другой плоскости, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей. Отсюда следует, что b∥l.
6. Аналогично можно рассмотреть симметричную ситуацию для прямой a: прямая a лежит в плоскости α и параллельна плоскости β (так как a∥b и b⊂β, то a∥β). Тогда по той же теореме получаем, что a∥l.
7. Таким образом, линия пересечения l параллельна обеим исходным прямым: l∥a и l∥b.

Проверка:

Логика доказательства опирается на фундаментальные аксиомы и теоремы стереометрии: признак параллельности прямой и плоскости и свойство линии пересечения плоскостей. Точка M обеспечивает существование обеих плоскостей и их пересечение. Условие «точка M не лежит в плоскости прямых» гарантирует, что плоскости α и β различны и не совпадают с плоскостью (ab), что делает задачу корректной. Результат подтверждает интуитивное представление: «крыша» из двух плоскостей, опирающаяся на параллельные рельсы, имеет конёк, параллельный этим рельсам.