ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 78: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства:

Чтобы доказать, что многогранник MBNDM₁N₁D₁ является параллелепипедом, достаточно показать, что его противоположные грани являются параллелограммами и лежат в параллельных плоскостях. Мы будем использовать свойства исходного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: все его грани — параллелограммы, а противолежащие рёбра равны и параллельны.

Ход решения:

1. Рассмотрим нижнее основание ABCD. По условию AM=CN. Так как ABCD — параллелограмм, то AB∥CD и AB=CD, а также AD∥BC и AD=BC. Точки M и N лежат на рёбрах AB и CD соответственно (или на других, но по симметрии задачи обычно подразумевается расположение на параллельных рёбрах). Допустим стандартное расположение: M∈AB, N∈CD. Тогда отрезки MB и DN лежат на параллельных прямых AB и CD. Так как AB=CD и AM=CN, то MB=AB-AM и DN=CD-CN. Следовательно, MB=DN. Так как MB∥DN и MB=DN, то четырёхугольник MBND является параллелограммом.
2. Рассмотрим верхнее основание A₁B₁C₁D₁. Аналогично, точки M₁ и N₁ лежат на рёбрах A₁B₁ и C₁D₁. По условию A₁M₁=C₁N₁. Так как A₁B₁=C₁D₁ и они параллельны, то M₁B₁=A₁B₁-A₁M₁ и N₁D₁=C₁D₁-C₁N₁. Значит, M₁B₁=N₁D₁. Отрезки M₁B₁ и N₁D₁ параллельны и равны, следовательно, четырёхугольник M₁B₁N₁D₁ (в вершинах которого фигурируют M_1,B_1,N_1,D₁) — параллелограмм. В нашем многограннике гранью является M₁N₁D_1...? Нет, давайте посмотрим на структуру MBNDM₁N₁D₁. Вершины: M,B,N,D снизу и M_1,N_1,D₁ сверху? В условии написано MBNDM₁N₁D₁. Обычно это означает, что есть соответствующие вершины. Скорее всего, речь идет о многограннике с основаниями MBND и M₁B₁N₁D₁? Но в списке вершин нет B₁. Давайте перечитаем внимательно: "Докажите, что MBNDM₁N₁D₁ — параллелепипед". Возможно, опечатка в условии или специфическая нумерация. Если предположить, что это усеченная запись для MBNDM₁B₁N₁D₁, то нужно проверить боковые ребра. Однако, если смотреть строго на набор букв M,B,N,D,M_1,N_1,D₁, то вершин 7, а у параллелепипеда 8. Скорее всего, пропущена буква B₁ или точка M₁ соответствует M, N₁ соответствует N, а третья пара вершин должна быть. Исходя из стандартных задач такого типа, обычно доказывается, что MBND и M₁B₁N₁D₁ — параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях, и боковые ребра MM_1,BB_1,NN_1,DD₁ параллельны и равны. Но в условии дано равенство A₁M₁=C₁N₁. Это связывает точки на верхнем основании. Давайте докажем, что вектор MM₁=BB₁=NN₁=DD₁ не обязательно выполняется для всех, если точки смещены. На самом деле, ключевой момент: параллелепипед определяется тремя парами параллельных граней. Грань 1: MBND (доказали, что параллелограмм). Грань 2: M₁B₁N₁D₁ (если считать, что B₁ входит в состав, хотя в названии его нет, возможно, имеется в виду грань, образованная проекциями). Давай предположим, что в условии опущена B₁ или структура другая. Если мы возьмем векторы: MB=DN (так как MBND параллелограмм). M₁B₁=D₁N₁ (так как M₁B₁N₁D₁ параллелограмм). Также известно, что MM₁ и BB₁ связаны через перенос. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ имеем AA₁=BB₁=CC₁=DD₁. Выразим MM₁. Точка M лежит на AB, M₁ на A₁B₁. AM=kAB, A₁M₁=kA₁B₁ (так как AM=CN=A₁M₁=C₁N₁ и стороны равны, коэффициенты одинаковы). Тогда MM₁=MA+AA₁+A₁M₁=-kAB+AA₁+kA₁B₁. Так как AB=A₁B₁, то MM₁=AA₁. Аналогично для N и N₁: NN₁=CC₁=AA₁. Для B и B₁: BB₁=AA₁. Для D и D₁: DD₁=AA₁. Следовательно, все боковые ребра нового многогранника (MM_1,BB_1,NN_1,DD₁) равны и параллельны друг другу. Так как основания MBND и M₁B₁N₁D₁ равны и параллельны (лежат в плоскостях z=0 и z=h), а боковые ребра параллельны и равны, то данный многогранник является параллелепипедом.

Проверка:

Мы использовали свойство параллельности и равенства одноименных векторов в параллелепипеде. Условие AM=CN=A₁M₁=C₁N₁ гарантирует, что точки M,N и M_1,N₁ расположены симметрично относительно центра основания, сохраняя параллельность сторон. Векторный подход подтвердил, что боковые ребра нового тела совпадают по направлению и длине с боковыми ребрами исходного, что является достаточным признаком параллелепипеда.