ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 73: Параллельность прямых и плоскостей

План решения: Докажем, что точки M, N, P и середина ребра AD (назовём её K) лежат в одной плоскости, используя свойства средних линий треугольников.Определим форму сечения тетраэдра плоскостью MNP. Так как MN || AC и PK || AC, а MP и NK соединяют середины других рёбер, сечением является параллелограмм (в данном случае — ромб или прямоугольник, но для периметра важна только длина сторон).Вычислим длины сторон четырёхугольника MKNP через диагонали тетраэдра AC и BD.Найдём периметр полученного четырёхугольника. Ход решения: 1. Доказательство прохождения плоскости через середину K ребра AD. Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии: MN∥AC и  MN=1/2AC.Теперь рассмотрим треугольник ADC. Пусть K — середина ребра AD, а P — середина ребра CD. Тогда отрезок KP является средней линией треугольника ADC. Следовательно: KP∥AC и  KP=1/2AC.Так как MN∥AC и KP∥AC, то по аксиоме о параллельных прямых MN∥KP. Две параллельные прямые определяют единственную плоскость. Поскольку точки M,N,P уже заданы, а точка K лежит на прямой, проходящей через P параллельно MN, то точка K обязательно принадлежит плоскости MNP. Таким образом, плоскость MNP проходит через середину K ребра AD.2. Анализ формы сечения и вычисление длин сторон. Мы выяснили, что MN∥KP и MN=KP=1/2AC. Это означает, что четырёхугольник MKNP (или MNPK, порядок обхода важен для названия, но не для периметра) является параллелограммом.Найдём длину другой пары противоположных сторон этого параллелограмма: MP и NK.Рассмотрим треугольник ABD. Точки M и K — середины рёбер AB и AD соответственно. Значит, MK — средняя линия треугольника ABD. Отсюда: MK∥BD и  MK=1/2BD.Рассмотрим треугольник CBD. Точки N и P — середины рёбер BC и CD соответственно. Значит, NP — средняя линия треугольника CBD. Отсюда: NP∥BD и  NP=1/2BD.Следовательно, стороны параллелограмма равны половинам диагоналей тетраэдра AC и BD.3. Вычисление периметра. Дано: AC=10 см, BD=12 см.Длины сторон параллелограмма MKNP:MN=KP=1/2·10=5 см;MK=NP=1/2·12=6 см.Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон:P_MKNP=2·(MN+MK)=2·(5+6)=2·11=22 см . Проверка: Логика построения верна: средние линии двух граней, имеющих общее основание (AC), параллельны этому основанию и равны его половине. Аналогично для второй пары сторон относительно основания BD. Четырёхугольник с параллельными и равными противоположными сторонами является параллелограммом. Расчёты выполнены без ошибок: 10/2=5, 12/2=6, (5+6)·2=22.