ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 76: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

Для доказательства параллельности прямых AC и A1C1, а также BD и B1D1, воспользуемся признаком параллельности двух прямых в пространстве. Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются (или являются противоположными сторонами параллелограмма), то они параллельны. В контексте параллелепипеда ключевым свойством является то, что его грани — параллелограммы, а боковые рёбра параллельны и равны.

Вычисление и доказательство:

Рассмотрим четырёхугольник ACC₁A₁. По определению параллелепипеда, отрезки AA₁ и CC₁ являются боковыми рёбрами, соединяющими соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований. Следовательно, AA₁∥CC₁ и AA₁=CC₁. Четырёхугольник с такими свойствами является параллелограммом. В параллелограмме ACC₁A₁ противоположные стороны AC и A₁C₁ параллельны. Таким образом, AC∥A₁C₁ .

Аналогично рассмотрим четырёхугольник BDD₁B₁. Отрезки BB₁ и DD₁ — это также боковые рёбра параллелепипеда, поэтому BB₁∥DD₁ и BB₁=DD₁. Значит, четырёхугольник BDD₁B₁ — параллелограмм. Его противоположные стороны BD и B₁D₁ параллельны. Таким образом, BD∥B₁D₁ .

Проверка:

Мы использовали фундаментальное свойство параллелепипеда: все боковые рёбра (AA_1,BB_1,CC_1,DD₁) параллельны и равны между собой. Это гарантирует, что диагональные сечения, проходящие через эти рёбра, образуют параллелограммы. Логика вывода корректна для любого типа параллелепипеда (прямого или наклонного). Утверждения доказаны.