10–11 классы Параллельность прямых и плоскостей

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 70: Параллельность прямых и плоскостей

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Артём Савельев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 69 73 →

Условие

Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Параллельные плоскости

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства:

Для того чтобы доказать параллельность двух плоскостей, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Введём обозначения для середин рёбер и воспользуемся свойством средней линии треугольника.

Ход решения:

Пусть M, N и P — середины рёбер AB, AC и AD тетраэдра ABCD соответственно. Требуется доказать, что плоскость (MNP) параллельна плоскости (BCD).

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MN соединяет середины сторон AB и AC, следовательно, MN является средней линией этого треугольника. По теореме о средней линии треугольника имеем:

MN∥BC

Так как прямая BC лежит в плоскости (BCD), а прямая MN не лежит в этой плоскости (так как точки M и N лежат на рёбрах, исходящих из вершины A, не принадлежащей основанию BCD), то по признаку параллельности прямой и плоскости следует, что:

MN∥(BCD)

Аналогично рассмотрим треугольник ACD. Отрезок NP соединяет середины сторон AC и AD, поэтому он является средней линией треугольника ACD. Следовательно:

NP∥CD

Прямая CD лежит в плоскости (BCD), а прямая NP ей не принадлежит. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости:

NP∥(BCD)

Мы получили, что две пересекающиеся прямые MN и NP плоскости (MNP) параллельны плоскости (BCD). Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Вывод:

Следовательно, плоскость (MNP) параллельна плоскости (BCD). Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и AD, параллельна плоскости BCD.

Использованы свойства средних линий треугольников ABC и ACD для установления параллельности MN || BC и NP || CD. Далее применён признак параллельности прямой и плоскости, а затем признак параллельности двух плоскостей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 70 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 70?

Краткий ответ: Доказано: плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и AD, параллельна плоскости BCD.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Параллельность прямых и плоскостей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.