ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 69: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Для доказательства параллельности прямых пересечения плоскости с гранями тетраэдра воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости. Обозначим середины рёбер AB и BC как точки M и N соответственно. Плоскость β проходит через точки M и N и параллельна ребру SB. Нам нужно доказать, что линии пересечения плоскости β с гранями SAB и SBC параллельны друг другу.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим грань SAB. Эта грань содержит прямую SB и точку M, лежащую на ребре AB. Так как точка M принадлежит плоскости β, а прямая SB параллельна плоскости β (по условию), то по свойству параллельности прямой и плоскости: если плоскость (β) проходит через точку (M), лежащую в другой плоскости (грань SAB), и параллельна некоторой прямой (SB), лежащей в этой второй плоскости, то линия пересечения этих двух плоскостей параллельна данной прямой.

Обозначим линию пересечения плоскости β и грани SAB как прямую l₁. Согласно вышесказанному, l₁∥SB.

Теперь рассмотрим грань SBC. Эта грань содержит прямую SB и точку N, лежащую на ребре BC. Точка N также принадлежит плоскости β. Аналогично предыдущему рассуждению, так как плоскость β параллельна прямой SB, лежащей в плоскости грани SBC, то линия пересечения плоскости β и грани SBC (обозначим её l₂) также параллельна прямой SB. То есть l₂∥SB.

Проверка и вывод.

Мы получили, что две различные прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости β (так как это линии пересечения граничных плоскостей с β) и обе параллельны третьей прямой SB. По транзитивности отношения параллельности для прямых в пространстве (или в плоскости β): если a∥c и b∥c, то a∥b.

Следовательно, l₁∥l₂. Что и требовалось доказать.