ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 74: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

• Определим положение точки пересечения медиан (центроида) грани BCD и её связь с вершиной A.
• Используем свойство параллельности плоскостей для нахождения линии пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра.
• Докажем подобие полученного треугольника-сечения исходной грани ABC.
• Вычислим коэффициент подобия и отношение площадей.

а) Доказательство подобия сечения

Пусть M — точка пересечения медиан грани BCD. Проведём через точку M плоскость β, параллельную грани ABC (β∥ABC). Так как плоскость β параллельна плоскости ABC, то она не пересекает эту грань. Секущая плоскость будет пересекать остальные три грани тетраэдра: ABD, ACD и BCD.

Рассмотрим пересечение плоскости β с ребром AD. Пусть это точка K. Аналогично, пусть L — точка пересечения с ребром BD, а N — с ребром CD. Однако, так как M лежит в плоскости грани BCD, а плоскость β проходит через M и параллельна ABC, нам нужно найти именно сечение внутри тетраэдра.

Более простой подход: рассмотрим отрезок, соединяющий вершину A с центроидом M грани BCD. Эта прямая является медианой тетраэдра. Точка M делит медиану грани BCD в отношении 2:1 от вершины. Но здесь важно другое: плоскость β параллельна ABC. Значит, линии пересечения плоскости β с гранями ABD и ACD будут параллельны сторонам AB и AC соответственно.

Пусть плоскость β пересекает ребро AD в точке P, ребро BD в точке Q и ребро CD в точке R. Тогда треугольник PQR является сечением. Поскольку β∥ABC, то PQ∥AB, PR∥AC и QR∥BC (так как QR лежит в плоскости BCD, а BC тоже, но они не совпадают, однако проекция... стоп, давайте точнее).

Так как плоскость β параллельна плоскости ABC, то любая прямая, лежащая в β, параллельна какой-то прямой в ABC или скрещивается с ней? Нет, если две плоскости параллельны, то любые их соответствующие линии пересечения с третьей плоскостью параллельны.

Рассмотрим плоскость ABD. Она пересекает параллельные плоскости ABC и β по прямым AB и PQ. Следовательно, PQ∥AB. Аналогично, в плоскости ACD имеем PR∥AC. В плоскости BCD линия пересечения с β проходит через M. Но M лежит в BCD. Плоскость β пересекает BCD по некоторой прямой l. Так как β∥ABC, то угол между β и BCD равен углу между ABC и BCD. Это сложно.

Давайте используем векторный метод или свойства центроида. Центроид M грани BCD имеет координаты (в системе с началом в B): C+D/3? Нет, центроид треугольника BCD — это среднее арифметическое его вершин. Если начало координат в центре масс тетраэдра, то проще.

Вспомним теорему: плоскость, проходящая через центроид грани и параллельная противоположной грани, отсекает пирамиду, подобную исходной, с коэффициентом 1/3? Или 2/3?

Рассмотрим медиану тетраэдра AM′, где M′ — центроид BCD. Точка M совпадает с M′. Расстояние от M до плоскости ABC составляет 1/3 высоты тетраэдра, опущенной из D на ABC? Нет. Высота из D к ABC равна H. Центроид M грани BCD находится на расстоянии H/3 от плоскости ABC? Проверим. Проекция M на высоту DH. Медиана грани BCD делится в отношении 2:1. Вершина D удалена от ABC на H. Вершины B и C лежат в ABC (удалены на 0). Координата z центроида M=(z_B+z_C+z_D)/3=(0+0+H)/3=H/3. Да, расстояние от M до плоскости ABC равно H/3.

Плоскость β проходит через M параллельно ABC. Значит, все точки плоскости β находятся на расстоянии H/3 от плоскости ABC. Сечение тетраэдра этой плоскостью представляет собой треугольник, стороны которого параллельны сторонам треугольника ABC (так как секущая плоскость параллельна основанию). Треугольник сечения подобен треугольнику ABC.

Коэффициент подобия k равен отношению расстояния от вершины D до секущей плоскости к расстоянию от вершины D до основания ABC? Нет, сечение ближе к основанию ABC или к вершине D?

Расстояние от D до ABC равно H. Расстояние от M до ABC равно H/3. Значит, расстояние от D до плоскости β равно H-H/3=2H/3. Таким образом, сечение находится на расстоянии 2/3 высоты от вершины D. Треугольник сечения подобен треугольнику ABC с коэффициентом k=2/3.

Следовательно, сечение есть треугольник, подобный треугольнику ABC.

б) Отношение площадей

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Проверка:

Если бы плоскость проходила через центроид всего тетраэдра, то расстояние было бы H/4 от основания, и коэффициент был бы 3/4. Здесь же мы берём центроид грани . Расстояние от центроида грани до противоположной вершины (в смысле проекции на высоту) действительно составляет 1/3 высоты пирамиды, построенной на этой грани. Для тетраэдра ABCD с основанием ABC и вершиной D: высота h_D. Центроид G_BCD грани BCD. Его «высота» над плоскостью ABC равна среднему арифметическому высот вершин B,C,D. h_B=0,h_C=0,h_D=h. Значит h_G=h/3. Плоскость параллельна ABC и проходит через G. Она отсекает от вершины D малую пирамиду высотой h-h/3=2h/3. Подобие с коэффициентом 2/3. Площадь относится как (2/3)²=4/9. Логика верна.