ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 88: Параллельность прямых и плоскостей
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны параллельные прямые AC и BD, пересекающие плоскость α в точках A и B соответственно. Точки C и D находятся по одну сторону от плоскости α. Известно: AC=8 см, BD=6 см, AB=4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке E. б) Найдите длину отрезка BE.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Так как прямые AC и BD параллельны, они определяют единственную плоскость. Точки A и B лежат на пересечении этой плоскости с данной плоскостью β. Нам нужно доказать, что прямая CD не параллельна плоскости β, а затем найти точку пересечения E и длину отрезка BE, используя свойства подобия треугольников.
а) Доказательство того, что прямая CD пересекает плоскость β
Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AC и BD. Обозначим её ρ. В плоскости ρ точки A и B лежат на прямой пересечения ρbigcapβ. Так как AC=8 см и BD=6 см, то AC≠BD. Следовательно, четырёхугольник ABDC является трапецией (так как AC||BD), а не параллелограммом. Боковые стороны трапеции AB и CD не могут быть параллельны друг другу. Значит, прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке E. Поскольку точка E лежит на прямой AB, которая принадлежит плоскости β, то и сама точка E принадлежит плоскости β. Таким образом, прямая CD пересекает плоскость β в точке E.
б) Нахождение длины отрезка BE
Пусть точка E — точка пересечения прямых AB и CD. Рассмотрим треугольники △EBD и △EAC. Так как BD||AC, то углы при основании равны: △EBD △EAC по двум углам (angleE общий, angleEBD=angleEAC как соответственные).
Из подобия следует пропорция сторон:
EB/EA=BD/ACПодставим известные значения BD=6, AC=8:
EB/EA=6/8=3/4Отсюда выразим EA через EB: EA=4/3EB.
По условию задачи точки C и D находятся по одну сторону от плоскости β. Это означает, что лучи AC и BD направлены в одну полуплоскость относительно прямой AB. При таком расположении точек A и B относительно точки пересечения E возможны два случая расположения прямой AB и секущих AC,BD. Однако, так как AC>BD (8>6), точка E должна находиться со стороны меньшего отрезка, то есть ближе к B, чем к A. Прямая AB проходит через основание трапеции. Точка E лежит на продолжении отрезка AB за точку B (так как BD<AC).
Следовательно, EA=EB+AB. Подставим это в выражение для отношения:
EB/EB+AB=3/4Известно, что AB=4 см. Решаем уравнение:
4EB=3(EB+4) 4EB=3EB+12 EB=12Проверка: Если EB=12, то EA=12+4=16. Отношение 12/16=3/4, что совпадает с отношением оснований 6/8. Ответ верен.
а) Доказано
б) 12 см
Задача сводится к планиметрии внутри плоскости, образованной параллельными прямыми. Ключевой момент — определение взаимного расположения точки пересечения боковых сторон трапеции (прямых AB и CD). Так как основания неравны, это трапеция, и боковые стороны пересекаются. Точка пересечения лежит на стороне меньшего основания.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 88 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 88?
Краткий ответ: а) Доказано; б) 12 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Параллельность прямых и плоскостей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.