ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 89: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Для доказательства параллельности отрезков AD и M₁M₂ воспользуемся свойствами медиан треугольника. Введем обозначения для точек пересечения медиан с сторонами треугольников ABC и CBD. Заметим, что обе медианы исходят из вершины B к противоположным сторонам AC и CD соответственно. Однако в условии сказано, что медианы пересекаются в точках M₁ и M₂. Обычно под «медианами треугольников» понимают все три медианы, но здесь контекст задачи (параллельность AD) подсказывает, что речь идет о конкретных медианах, исходящих из общей вершины или связанных со стороной BC. Давайте уточним стандартную формулировку таких задач: чаще всего рассматриваются медианы, проведенные из вершин A и D к стороне BC, либо медианы, проведенные из вершины B к сторонам AC и CD. Но если M₁ — точка пересечения медиан △ABC, а M₂ — точка пересечения медиан △CBD, то это центроиды. Соединение центроидов двух треугольников, имеющих общую сторону BC, действительно параллельно линии, соединяющей третьи вершины (A и D). Это классический факт. Докажем его через векторы или подобие.

Вычисление и доказательство.

Пусть O — середина общего ребра BC. Рассмотрим медианы треугольников ABC и CBD, проведенные из вершин A и D к стороне BC. Нет, в условии сказано «Медианы ... пересекаются в точках M₁ и M₂». Точка пересечения всех трех медиан треугольника называется центроидом. Таким образом, M₁ — центроид △ABC, а M₂ — центроид △CBD. Воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат совпадает с серединой стороны BC, обозначим её за K. Тогда KB+KC=0. Для любого треугольника радиус-вектор центроида равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин. OM₁=OA+OB+OC/3 OM₂=OD+OB+OC/3 Найдем вектор M₁M₂: M₁M₂=OM₂-OM₁=OD+OB+OC/3-OA+OB+OC/3 M₁M₂=OD-OA/3=1/3AD Из полученного равенства следует, что вектор M₁M₂ коллинеарен вектору AD и направлен в ту же сторону. Поскольку точки A,D,M_1,M₂ не лежат на одной прямой (так как A,B,C,D не компланарны), то прямые AD и M₁M₂ параллельны. Альтернативное геометрическое доказательство без векторов: 1. Пусть AK — медиана △ABC, проведенная к стороне BC, где K — середина BC. Центроид M₁ лежит на AK и делит её в отношении 2:1, считая от вершины A. То есть AM₁:M₁K=2:1, откуда KM₁=1/3KA. 2. Пусть DK — медиана △CBD, проведенная к стороне BC (та же самая точка K, так как BC общая сторона). Центроид M₂ лежит на DK и делит её в отношении 2:1, считая от вершины D. То есть DM₂:M₂K=2:1, откуда KM₂=1/3KD. 3. Рассмотрим треугольник AKD. Точки M₁ и M₂ лежат на сторонах KA и KD соответственно. 4. Из пунктов 1 и 2 имеем пропорцию: KM₁/KA=1/3 и KM₂/KD=1/3. 5. Следовательно, KM₁/KA=KM₂/KD. 6. По обратной теореме Фалеса (или признаку подобия треугольников △KM₁M₂∼△KAD), отрезок M₁M₂ параллелен основанию AD.

Проверка.

Логика доказательства опирается на фундаментальное свойство центроида: он лежит на каждой медиане и отсекает от вершины две трети длины медианы. Общая сторона BC позволяет использовать одну и ту же середину K для обеих фигур. Подобие треугольников KM₁M₂ и KAD с коэффициентом 1/3 однозначно устанавливает параллельность соответствующих сторон. Условие некомпланарности гарантирует, что мы имеем дело с пространственной конфигурацией, где прямые не совпадают, а только параллельны.