ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 90: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

Для определения взаимного расположения прямой и плоскости необходимо проанализировать положение точек, лежащих на этой прямой, относительно данной плоскости. Вспомним аксиому: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Если хотя бы одна точка прямой не принадлежит плоскости, а другая принадлежит, то прямая пересекает плоскость. Если ни одна точка прямой не принадлежит плоскости, но прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Решение пункта а):

По условию вершины A и B трапеции ABCD лежат в плоскости β. Отрезок AB является основанием трапеции. Это означает, что основание CD параллельно основанию AB, то есть CD
parallelAB. Так как прямая AB целиком лежит в плоскости β (поскольку её концы A и B принадлежат β), а прямая CD ей параллельна, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая CD параллельна плоскости β. Проверим условия: вершины C и D не лежат в плоскости β. Это согласуется с тем, что прямая CD не может лежать в плоскости β, так как тогда точки C и D также были бы в ней. Следовательно, прямая CD не имеет общих точек с плоскостью β.

Вывод для а): Прямая CD параллельна плоскости β.

Решение пункта б):

Теперь отрезок AB является боковой стороной трапеции. Тогда основаниями трапеции являются стороны AD и BC (или AC и BD, но стандартная нумерация вершин ABCD подразумевает последовательное соединение, поэтому основания — это AD и BC, либо AB и CD? Нет, в трапеции ABCD обычно AB
parallelCD или AD
parallelBC. Если AB — боковая сторона, то параллельны друг другу другие пары сторон. Допустим, основаниями являются AD и BC. Тогда AD
parallelBC. Однако нам важно расположение прямой CD. Точка C не лежит в плоскости β, точка D не лежит в плоскости β. Но мы знаем, что точка A лежит в β, а точка B лежит в β. Рассмотрим прямую CD. Она проходит через точки C и D, которые вне плоскости β. Может ли она быть параллельна плоскости? Для этого нужно найти в плоскости β прямую, параллельную CD. В трапеции ABCD с боковой стороной AB основаниями являются AD и BC. Значит, AD
parallelBC. Это не помогает напрямую связать CD с плоскостью β через параллельность внутри плоскости. Давайте посмотрим на пересечение. Прямая CD соединяет две точки вне плоскости. Прямая AB лежит в плоскости. Стороны AD и BC — это боковые стороны? Нет, если AB — боковая, то AD и BC могут быть основаниями, или AC и BD диагонали. Стандартное определение: Трапеция — четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Пусть AB — боковая сторона. Тогда параллельны AD и BC (основания) или AC и BD (невозможно для сторон). Значит, AD
parallelBC. Где расположена прямая CD? Она является второй боковой стороной. Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AD и BC. Эта плоскость содержит точки A,B,C,D. Так как A,B
inβ, то прямая AB
subsetβ. Плоскость (ABCD) пересекает плоскость β по прямой AB. Прямая CD лежит в плоскости (ABCD) и параллельна прямой AB? Нет, в трапеции боковые стороны не параллельны. Они пересекаются при продолжении. Следовательно, прямая CD не параллельна прямой AB. Поскольку CD и AB лежат в одной плоскости (ABCD) и не параллельны, они должны пересекаться в некоторой точке K. Точка K лежит на прямой AB, значит, K
inβ. Также точка K лежит на прямой CD. Таким образом, прямая CD имеет общую точку K с плоскостью β. Так как точки C и D не лежат в β, то прямая CD не лежит в β. Следовательно, прямая CD пересекает плоскость β.

Вывод для б): Прямая CD пересекает плоскость β.