ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 94: Параллельность прямых и плоскостей

План решения:

Обозначим две скрещивающиеся прямые как a и b. По условию точка B не лежит ни на одной из этих прямых. Нам нужно рассмотреть две плоскости: плоскость β, проходящую через прямую a и точку B, и плоскость β′, проходящую через прямую b и точку B. Требуется определить, пересекаются ли эти плоскости.

Вычисление и обоснование:

Согласно аксиомам стереометрии, через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость. Следовательно, плоскость β определена однозначно прямой a и точкой B, а плоскость β′ — прямой b и точкой B.

Заметим, что обе плоскости содержат общую точку B. Если бы эти плоскости совпадали, то в одной плоскости лежали бы обе прямые a и b. Однако по условию задачи прямые a и b являются скрещивающимися, то есть они не лежат в одной плоскости. Значит, плоскости β и β′ различны.

Две различные плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Таким образом, плоскости β и β′ пересекаются по некоторой прямой c, которая проходит через точку B.

Проверка:

Рассмотрим частный случай для наглядности. Пусть прямая a параллельна оси Ox, а прямая b параллельна оси Oy, но смещена так, чтобы они не пересекались (скрещивались). Точка B выбрана произвольно вне этих прямых. Плоскость, проходящая через a и B, будет иметь определённый наклон относительно координатных осей. Аналогично для b и B. Поскольку направления прямых a и b не коллинеарны (иначе они были бы параллельными или совпадающими, а не скрещивающимися), нормальные векторы соответствующих плоскостей также не будут коллинеарны. Это подтверждает, что плоскости не параллельны и не совпадают, а значит, обязательно пересекаются.