ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 98: Параллельность прямых и плоскостей

Поскольку a∥α, прямая a не имеет общих точек с плоскостью α и параллельна некоторой прямой этой плоскости. Пусть c — прямая в α, для которой a∥c. Возьмём в α прямую d, пересекающую c. Через произвольную точку A прямой a проведём прямую b∥d.

Прямые a и b пересекаются в точке A, поэтому через них проходит единственная плоскость β. Прямая a параллельна прямой c⊂α, прямая b параллельна прямой d⊂α. По признаку параллельности плоскостей β∥α. При этом a⊂β по построению.

Через прямую a можно провести бесконечно много плоскостей. Предположим, что две различные плоскости β₁ и β₂ обе содержат a и обе параллельны α. Тогда β₁∥α и β₂∥α, а плоскости, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой: β₁∥β₂.

Но β₁ и β₂ пересекаются по прямой a, значит они не параллельны. Противоречие. Следовательно, такая плоскость не может быть неединственной.