ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 99: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства.

Для доказательства теоремы о пропорциональных отрезках на секущих прямых, пересекающих три параллельные плоскости, необходимо использовать свойства параллельных проекций или вспомогательные плоскости. Пусть даны три параллельные плоскости α, β и γ. Две прямые a и b пересекают эти плоскости в точках A_1,B_1,C₁ и A_2,B_2,C₂ соответственно. Нам нужно доказать, что A₁B₁/B₁C₁=A₂B₂/B₂C₂.

Ход решения.

Рассмотрим случай, когда прямые a и b лежат в одной плоскости (пересекаются). Если они не пересекаются, но параллельны, то отрезки между параллельными плоскостями равны (A₁B₁=A₂B₂ и B₁C₁=B₂C₂), и пропорция тривиальна. Сложнее случай скрещивающихся прямых. Проведем через точку A₁ прямую c, параллельную прямой b. Пусть прямая c пересекает плоскости β и γ в точках D₁ и E₁ соответственно.

Так как прямая c параллельна прямой b, а плоскости α,β,γ параллельны, то по свойству параллельных проекций отрезки, отсекаемые на этих прямых, равны: A₂B₂=A₁D₁ и B₂C₂=D₁E₁.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через прямые a и c (так как они пересекаются в точке A₁). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α,β,γ по прямым линиям. В полученной трапеции (или треугольнике, если одна из прямых проходит через вершину) применим теорему Фалеса или свойства подобия треугольников. Прямые пересечения с β и γ параллельны друг другу. Следовательно, они делят стороны угла при вершине A₁ пропорционально:

Подставив ранее найденные равенства A₁D₁=A₂B₂ и D₁E₁=B₂C₂, получаем:

Проверка и вывод.

Мы показали, что отношение длин отрезков на первой прямой равно отношению длин соответствующих отрезков на второй прямой. Это утверждение верно для любых двух прямых, пересекающих три параллельные плоскости, так как мы свели общий случай к частному (прямые в одной плоскости) с помощью построения параллельной прямой. Таким образом, три параллельные плоскости действительно отсекают на любых двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки. Теорема доказана.