ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 103: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо доказать параллельность плоскостей MNP и ABC, используя признак параллельности плоскостей (если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны). Затем нужно найти площадь треугольника MNP, опираясь на свойства подобия треугольников и коэффициент подобия, который определяется заданным отношением отрезков на рёбрах тетраэдра.

Доказательство параллельности плоскостей.

Рассмотрим грань DAB. По условию точки M и N лежат на рёбрах DA и DB так, что DM:MA=DN:NB. Согласно обратной теореме Фалеса (или признаку параллельности прямых в треугольнике), если стороны угла делятся точками в одном и том же отношении, то отрезок, соединяющий эти точки, параллелен третьей стороне. Следовательно, MN∥AB.

Аналогично рассмотрим грань DBC. Так как DN:NB=DP:PC, то по той же причине NP∥BC.

Мы получили, что прямая MN плоскости MNP параллельна прямой AB плоскости ABC, а прямая NP плоскости MNP параллельна прямой BC плоскости ABC. Прямые MN и NP пересекаются в точке N и лежат в плоскости MNP. Прямые AB и BC пересекаются в точке B и лежат в плоскости ABC. По признаку параллельности плоскостей, плоскость MNP параллельна плоскости ABC.

Вычисление площади треугольника MNP.

Так как MN∥AB, NP∥BC и MP∥AC (по аналогии с предыдущими пунктами для грани DAC), треугольник MNP подобен треугольнику ABC.

Найдём коэффициент подобия k. Он равен отношению соответствующих сторон, например, MN/AB. Из подобия треугольников DMN и DAB следует, что MN/AB=DM/DA.

По условию дано отношение DM:MA=2:1. Пусть DM=2x, тогда MA=x. Длина всего ребра DA=DM+MA=2x+x=3x.

Коэффициент подобия: k=DM/DA=2x/3x=2/3

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Обозначим площадь треугольника ABC как S_ABC, а площадь треугольника MNP как S_MNP.

Известно, что S_ABC=10 см². Тогда:

Переведём неправильную дробь в смешанное число: 40/9=44/9 см²

Проверка результата.

Логика доказательства параллельности основана на стандартных теоремах планиметрии, перенесённых на пространственные фигуры через грани тетраэдра, что корректно. Вычисление коэффициента подобия верно учитывает, что отношение дано к части отрезка (DM:MA), а не ко всему ребру (DM:DA). Если бы мы ошибочно приняли k=2, площадь была бы больше исходной, что невозможно при сечении, проходящем ближе к вершине D. Результат 44/9 меньше 10, что согласуется с геометрическим смыслом задачи.