ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 109: Параллельность прямых и плоскостей

План доказательства:

1. Выберем две плоскости, удовлетворяющие условию задачи. Пусть первая плоскость α содержит боковые рёбра AA₁ и CC₁, а вторая плоскость β содержит боковые рёбра BB₁ и DD₁. Заметим, что эти пары рёбер не принадлежат одной грани (так как A,B,C,D — вершины основания). 2. Найдём линию пересечения этих плоскостей. 3. Докажем параллельность линии пересечения боковым рёбрам. 4. Докажем, что эта линия пересекает все диагонали параллелепипеда.

Вычисление и логический вывод:

Рассмотрим плоскость α, проходящую через параллельные прямые AA₁ и CC₁. Так как AA₁∥CC₁, то такая плоскость существует и единственна. Аналогично, плоскость β проходит через параллельные прямые BB₁ и DD₁. Так как все боковые рёбра параллелепипеда взаимно параллельны (AA₁∥BB₁∥CC₁∥DD₁), то прямая BB₁, лежащая в плоскости β, параллельна прямой AA₁, лежащей в плоскости α. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, BB₁∥α. Аналогично, прямая AA₁ лежит в плоскости α и параллельна прямой BB₁, лежащей в плоскости β. Значит, AA₁∥β. Теперь рассмотрим пересечение плоскостей α и β. Пусть они пересекаются по прямой a. Прямая a лежит в плоскости α. Поскольку плоскость β проходит через прямую BB₁, которая параллельна плоскости α, то линия пересечения a должна быть параллельна прямой BB₁. Действительно, если бы прямая a пересекала BB₁, то точка пересечения лежала бы одновременно в α и на BB₁, но BB₁∩α=∅ (так как BB₁∥AA₁ и AA₁⊂α, а B не лежит в α). Более строго: так как BB₁∥α и BB₁⊂β, а α∩β=a, то по теореме о пересечении двух плоскостей третьей плоскостью, содержащей параллельную им прямую, получаем a∥BB₁. Так как BB₁ является боковым ребром, то и прямая a параллельна всем боковым рёбрам параллелепипеда. Чтобы доказать, что прямая a пересекает все диагонали, найдём её положение относительно центра параллелепипеда. Плоскости α (ACC₁A₁) и β (BDD₁B₁) являются диагональными сечениями параллелепипеда. Они проходят через центр симметрии параллелепипеда O (точку пересечения всех диагоналей). Следовательно, их линия пересечения a также проходит через точку O. Все диагонали параллелепипеда (AC_1,BD_1,CA_1,DB₁) проходят через центр O. Прямая a проходит через O и параллельна боковым рёбрам. Диагонали не параллельны боковым рёбрам (они соединяют противоположные вершины, смещённые и по высоте, и по основанию). Поэтому каждая диагональ пересекает прямую a в точке O.

Проверка:

Мы доказали, что линия пересечения диагональных сечений параллельна боковым рёбрам. Это верно для любого параллелепипеда. Также мы установили, что эта линия проходит через центр параллелепипеда, где пересекаются все его пространственные диагонали. Таким образом, утверждение задачи выполнено: прямая a параллельна боковым рёбрам и пересекает все диагонали (в общей точке).