ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 108: Параллельность прямых и плоскостей

План решения. Нам нужно доказать, что три отрезка AA₁, BB₁ и CC₁ имеют общую точку. Эти отрезки лежат в гранях тетраэдра: AA₁ — в грани DBC, BB₁ — в грани DAC, CC₁ — в грани DAB. Точки A_1,B_1,C₁ лежат на рёбрах основания ABC. Ключевая идея состоит в том, чтобы рассмотреть плоскости, проходящие через вершину D и соответствующие точки деления сторон основания, то есть плоскости ADA₁, BDB₁ и CDC₁. Если мы покажем, что эти три плоскости пересекаются по одной прямой, то эта прямая будет проходить через вершину D и некоторую точку внутри треугольника ABC. Далее, используя свойства биссектрис, мы свяжем эту прямую с пересечением медиан или других характерных линий, но здесь проще воспользоваться теоремой Чевы для пространственного случая или проекцией.

Вычисление и доказательство. Рассмотрим плоскость P₁=ADA₁. Она проходит через ребро DA и точку A₁ на ребре BC. Аналогично определим плоскости P₂=BDB₁ (проходит через DB и B₁∈AC) и P₃=CDC₁ (проходит через DC и C₁∈AB). По условию, DA₁ — биссектриса угла ∠BDC в треугольнике DBC. По свойству биссектрисы: BA₁/A₁C=BD/DC Аналогично, так как DB₁ — биссектриса угла ∠ADC в треугольнике ADC: AB₁/B₁C=AD/DC И так как DC₁ — биссектриса угла ∠ADB в треугольнике ADB: AC₁/C₁B=AD/DB Теперь рассмотрим произведение этих отношений для точек A_1,B_1,C₁, лежащих на сторонах треугольника ABC: BA₁/A₁C·CB₁/B₁A·AC₁/C₁B=(BD/DC)·(DC/AD)·(AD/DB) Заметим, что во втором множителе у нас отношение AB₁/B₁C, а нам нужно CB₁/B₁A для формулы Чевы (или просто перевернем дробь). Давайте аккуратно запишем формулу Чевы для треугольника ABC: cevians AA_1,BB_1,CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда BA₁/A₁C·CB₁/B₁A·AC₁/C₁B=1 Подставим найденные выражения: 1. BA₁/A₁C=BD/DC 2. CB₁/B₁A=1/AB₁/B₁C=DC/AD (так как AB₁/B₁C=AD/DC) 3. AC₁/C₁B=AD/DB Перемножаем: BD/DC·DC/AD·AD/DB=1 Все множители сокращаются. Следовательно, по обратной теореме Чевы для треугольника ABC, отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Проверка и вывод. Мы использовали тот факт, что точки A_1,B_1,C₁ делят стороны основания ABC в отношениях, определяемых длинами боковых ребер тетраэдра. Это классическое применение теоремы Чевы. Указание из учебника про пересечение плоскостей ADA₁, BDB₁, CDC₁ также верно: эти плоскости проходят через одну прямую (ось), которая является линией пересечения всех трех плоскостей. Эта ось проходит через вершину D и точку пересечения AA_1,BB_1,CC₁ в основании. Таким образом, геометрическая конфигурация подтверждает алгебраический результат. Доказательство завершено.