ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 111: Параллельность прямых и плоскостей

План решения.

Для доказательства неравенства между длиной диагонали параллелепипеда и суммой трёх рёбер, исходящих из одной вершины, воспользуемся свойством треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Нам потребуется последовательно применить это свойство к двум треугольникам, образованным ребрами и диагоналями граней.

Ход вычислений и доказательство.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ — данный параллелепипед. Рассмотрим вершину A. Три ребра, имеющие с ней общую вершину, это AB, AD и AA₁. Диагональ параллелепипеда, исходящая из этой же вершины, — это отрезок AC₁. 1. Сначала рассмотрим треугольник ABC₁. По неравенству треугольника для его сторон имеем: AC₁<AB+BC₁ Здесь BC₁ является диагональю боковой грани BCC₁B₁. 2. Теперь рассмотрим треугольник BCC₁. Его сторонами являются ребро BC, ребро CC₁ и диагональ грани BC₁. Применим неравенство треугольника: BC₁<BC+CC₁ 3. Подставим полученное неравенство для BC₁ в первое неравенство: AC₁<AB+(BC+CC₁) AC₁<AB+BC+CC₁ 4. Вспомним свойства параллелепипеда: противоположные ребра равны. Следовательно, BC=AD и CC₁=AA₁. Заменим эти величины в нашем неравенстве: AC₁<AB+AD+AA₁ Таким образом, мы получили, что длина диагонали AC₁ строго меньше суммы длин трёх рёбер AB, AD и AA₁, исходящих из общей вершины A.

Проверка результата.

Логика доказательства опирается на фундаментальное геометрическое неравенство (неравенство треугольника), которое верно для любых невырожденных треугольников. Поскольку параллелепипед не вырождается в плоскую фигуру или отрезок, все рассмотренные треугольники (ABC₁ и BCC₁) существуют. Замена равных отрезков (BC→AD, CC₁→AA₁) корректна по определению параллелепипеда. Неравенство строгое, так как точки A,B,C₁ не лежат на одной прямой (иначе параллелепипед был бы вырожденным). Утверждение доказано.