ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 117: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямой AD и отрезка MN воспользуемся свойствами средней линии треугольника и теоремой о трёх перпендикулярах (или векторным методом). Сначала установим связь между направлением вектора MN и вектором BC. Затем, используя условие задачи BC⊥AD, покажем, что скалярное произведение векторов AD и MN равно нулю, что и будет означать их перпендикулярность.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию точки M и N являются серединами рёбер AB и AC соответственно. Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника ABC.

Согласно свойству средней линии, она параллельна основанию и равна его половине. Векторно это можно записать так:

Нам нужно доказать, что прямая AD перпендикулярна прямой MN. Это эквивалентно тому, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю:

Подставим выражение для MN через BC:

По условию задачи ребро BC перпендикулярно ребру AD (BC⊥AD). Это означает, что угол между векторами BC и AD равен 90^°, а значит, их скалярное произведение равно нулю:

Таким образом:

Отсюда следует, что векторы AD и MN перпендикулярны, то есть прямые AD и MN перпендикулярны.

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальные свойства геометрии: определение средней линии треугольника и алгебраическое условие перпендикулярности векторов. Поскольку параллельность MN∥BC сохраняется в пространстве, а перпендикулярность одной из параллельных прям к третьей (AD⊥BC) влечёт перпендикулярность второй параллельной прямой к той же третьей (AD⊥MN), результат верен. Доказательство завершено.