ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 119: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC, и точка O является серединой отрезка AD. Докажите
а) AB=DB
б) AB=AC, если OB=OC
в) OB=OC, если AB=AC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства отрезков будем использовать признак равенства прямоугольных треугольников. Так как прямая OA перпендикулярна плоскости OBC, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O. Следовательно, треугольники AOB, AOC, DOB и DOC являются прямоугольными с прямым углом при вершине O. Точка O — середина AD, значит, AO=OD.
а) Доказательство того, что AB=DB.
Рассмотрим треугольники AOB и DOB. 1. Угол ∠AOB=90° и угол ∠DOB=90°, так как OA⊥(OBC) и OD лежит на той же прямой. 2. Катет OB является общим для обоих треугольников. 3. По условию точка O — середина отрезка AD, поэтому катеты AO и DO равны: AO=DO. Таким образом, прямоугольные треугольники AOB и DOB равны по двум катетам (AO=DO, OB — общий). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих гипотенуз: AB=DB.
б) Доказательство того, что AB=AC, если OB=OC.
Рассмотрим треугольники AOB и AOC. 1. Углы ∠AOB и ∠AOC прямые (90°), так как OA⊥(OBC). 2. Катет AO является общим для этих треугольников. 3. По дополнительному условию задачи дано, что катеты OB и OC равны: OB=OC. Следовательно, прямоугольные треугольники AOB и AOC равны по двум катетам (AO — общий, OB=OC). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: AB=AC.
в) Доказательство того, что OB=OC, если AB=AC.
Рассмотрим те же треугольники AOB и AOC. 1. Они являются прямоугольными (∠AOB=∠AOC=90°). 2. Катет AO у них общий. 3. По условию пункта в) гипотенузы равны: AB=AC. Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе (AO — общий катет, AB=AC — равные гипотенузы). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: OB=OC.
Доказано с использованием признаков равенства прямоугольных треугольников.
В решении использованы свойства перпендикулярности прямой к плоскости и признаки равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам и по катету и гипотенузе). Все три части задачи решаются последовательно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 119 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 119?
Краткий ответ: Доказано с использованием признаков равенства прямоугольных треугольников.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.