ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 123: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что плоскости α и β, перпендикулярные прямой a, не параллельны друг другу. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой. Нам нужно показать, что это предположение приводит к противоречию с известной теоремой стереометрии о единственности перпендикуляра.

Ход вычисления и рассуждений.

Пусть прямая a перпендикулярна плоскости α (a⊥α) и перпендикулярна плоскости β (a⊥β).

1. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они имеют общую точку (так как если бы у них не было общих точек, они были бы параллельны по определению). Пусть M — точка пересечения прямой a с плоскостью α. Так как a⊥α, то точка M лежит на плоскости α.
2. Рассмотрим положение точки M относительно плоскости β. Поскольку a⊥β, прямая a должна пересекать плоскость β в единственной точке, которая является основанием перпендикуляра. Обозначим эту точку за N. Таким образом, N=a∩β.
3. Если плоскости α и β совпадают, то они тривиально параллельны (или идентичны), что удовлетворяет условию задачи. Допустим теперь, что α и β различны.
4. Вспомним теорему: через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой . Или более простой вариант для данного случая: если из одной точки проведены два перпендикуляра к одной прямой, то эти перпендикуляры лежат в одной плоскости, перпендикулярной данной прямой .
5. Более строгий путь через метод от противного с использованием свойства параллельности:
   Предположим, что α и β пересекаются по прямой l. Возьмем на прямой a произвольную точку A. Проведем через точку A плоскость γ, перпендикулярную прямой a. По условию, α⊥a и β⊥a. Это означает, что любая прямая в плоскости α, проходящая через основание перпендикуляра, перпендикулярна a. Аналогично для β.
   Однако, проще использовать следующий факт: Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эта прямая параллельна линии пересечения этих плоскостей? Нет, это неверно.
   Давайте используем классическое доказательство через единственность.
   Пусть a⊥α и a⊥β. Допустим, что α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по прямой b.
   Возьмем на прямой a точку P. Спроектируем точку P на плоскость α — это будет точка P₁ (основание перпендикуляра). Спроектируем точку P на плоскость β — это будет точка P₂.
   Так как a⊥α, то a перпендикулярна любой прямой в α, проходящей через P₁. В частности, если P₁ лежит на линии пересечения b, то a⊥b. Но b лежит в α.
   Рассмотрим случай, когда α и β не совпадают.
   Проведем через точку A на прямой a плоскость δ, перпендикулярную a. Эта плоскость δ параллельна обеим плоскостям α и β? Не обязательно, но она содержит все направления, перпендикулярные a.
   Существует фундаментальная теорема: Через данную точку пространства можно провести только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой.
   Пусть O — точка пересечения прямой a с плоскостью α. Тогда α — единственная плоскость, проходящая через O и перпендикулярная a.
   Пусть K — точка пересечения прямой a с плоскостью β. Тогда β — единственная плоскость, проходящая через K и перпендикулярная a.
   Если O=K, то плоскости α и β проходят через одну и ту же точку и перпендикулярны одной и той же прямой. Следовательно, α совпадает с β. Совпадающие плоскости считаются параллельными (в широком смысле или как частный случай).
   Если O≠K, то пусть α и β пересекаются по прямой c. Возьмем точку M на прямой c. Проведем прямую m через M, лежащую в плоскости α. Так как a⊥α, то угол между a и m равен 90^°. Проведем прямую n через M, лежащую в плоскости β. Так как a⊥β, то угол между a и n равен 90^°.
   Это не дает прямого противоречия сразу. Вернемся к векторному подходу или геометрическому.
   Направим вектор n вдоль прямой a. Так как a⊥α, то n является нормальным вектором плоскости α. Так как a⊥β, то n является нормальным вектором плоскости β.
   Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны.
   В нашем случае нормальные векторы плоскостей α и β совпадают (или противоположно направлены), так как оба параллельны прямой a. Следовательно, плоскости α и β параллельны.

Проверка и вывод.

Мы использовали тот факт, что направление прямой, перпендикулярной плоскости, однозначно определяет ориентацию этой плоскости в пространстве. Если две плоскости имеют одинаковый нормальный вектор (вектор, перпендикулярный им обоим), то они либо параллельны, либо совпадают. В геометрии совпадающие плоскости часто рассматриваются как предельный случай параллельных или просто констатируется, что они не пересекаются по прямой (если считать их различными, то они не могут иметь общую нормаль и пересекаться). Таким образом, предположение о том, что они пересекаются по прямой, привело бы к тому, что одна и та же прямая a была бы перпендикулярна двум различным плоскостям, имеющим общую линию пересечения, что невозможно, так как проекция прямой a на плоскость, содержащую линию пересечения, не может быть одновременно нулевой для двух разных ориентаций. Более строго: нормальные векторы равны ⇒ плоскости параллельны.