ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 126: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения:

Для определения вида треугольника MBD необходимо проанализировать взаимное расположение прямой MB и плоскости треугольника ABC. Мы знаем, что прямая MB перпендикулярна двум сторонам этого треугольника (AB и BC). Согласно теореме о признаке перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Далее нужно использовать определение перпендикулярности прямой и плоскости для установления угла между MB и любой прямой в плоскости ABC, проходящей через точку пересечения.

Вычисление и обоснование:

1. Рассмотрим прямую MB и плоскость α, содержащую треугольник ABC. По условию задачи дано, что MB⊥AB и MB⊥BC. 2. Прямые AB и BC лежат в плоскости α и пересекаются в точке B. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая MB перпендикулярна плоскости ABC (MB⊥(ABC)). 3. Точка D лежит на прямой AC, которая также принадлежит плоскости ABC. Значит, прямая BD является прямой, лежащей в плоскости ABC и проходящей через основание перпендикуляра B. 4. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения с плоскостью. 5. Таким образом, MB⊥BD. Это означает, что угол ∠MBD=90^°.

Проверка и вывод:

В треугольнике MBD один из углов (∠MBD) равен 90^°. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным. Логика вывода не зависит от конкретного положения точки D на прямой AC (кроме случая совпадения с B, но тогда треугольник вырождается, а в общем случае он существует), так как перпендикулярность к плоскости гарантирует перпендикулярность ко всем лучам в этой плоскости, исходящим из основания. Ответ согласуется с ожидаемым результатом: треугольник является прямоугольным.