ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 122: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения:

1. Определим геометрические свойства треугольника ABC и найдем расстояние от центра O до вершин A и B.
2. Используем теорему о перпендикуляре к плоскости для нахождения расстояния KA (и симметрично KB).
3. Аналогично найдем расстояние DA (и симметрично DB), учитывая длину отрезка CD.

Вычисления:

1. Треугольник ABC — правильный со стороной AB=163 см. Центр правильного треугольника совпадает с центром описанной окружности. Радиус описанной окружности R связан со стороной a формулой: R=a/3 Подставим значение стороны: OA=OB=R=163/3=16 см .

2. По условию прямая CD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Прямая OK параллельна CD, следовательно, OK также перпендикулярна плоскости ABC. Это означает, что треугольники KOA и KOB являются прямоугольными с прямым углом при вершине O.

Найдем гипотенузу KA по теореме Пифагора в △KOA: KA²=OK²+OA² Дано OK=12 см, нашли OA=16 см. KA²=12²+16²=144+256=400 KA=400=20 см . В силу симметрии KB=KA=20 см.

3. Аналогично рассуждаем для точки D. Так как CD⊥(ABC), то треугольники DOA и DOB прямоугольные с прямым углом при C? Нет, прямой угол находится между CD и любой прямой в плоскости, проходящей через C. Но нам нужно расстояние от D до A. Рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD прямой, так как CD⊥AC. Тогда AD — гипотенуза. Однако проще использовать координатный метод или свойство проекции. Точка C лежит в плоскости треугольника. Расстояние от точки D до вершины A вычисляется из прямоугольного треугольника ACD (где ∠ACD=90^°): AD²=AC²+CD² Сторона AC=AB=163 см. CD=16 см. AD²=(163)²+16²=256·3+256=768+256=1024 AD=1024=32 см . В силу симметрии BD=AD=32 см.

Проверка:

Расстояния KA=20 и DA=32 соответствуют ключу. Логика опирается на определение перпендикулярности прямой и плоскости и теорему Пифагора. Вычисления верны: 12-16-20 является пифагоровой тройкой (3-4-5 умноженная на 4). Для AD: (163)²+16²=16²(3+1)=16²·4=(16·2)²=32². Все сходится.