ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 120: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Через точку O пересечения диагоналей квадрата со стороной a проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если OK=b.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся теоремой о перпендикуляре и наклонной к плоскости. Нам нужно найти расстояние от точки K до любой из вершин квадрата (обозначим одну из них как A). Так как квадрат симметричен относительно центра O, расстояния от точки K до всех четырех вершин будут равны.
Рассмотрим прямоугольный треугольник △KOA. Катет OK нам дан по условию: OK=b. Второй катет — это отрезок OA, соединяющий центр квадрата с его вершиной. Гипотенуза KA является искомым расстоянием.
Сначала найдем длину диагонали квадрата со стороной a. По теореме Пифагора для стороны квадрата диагональ d равна d=a2+a2=2a2=a2.
Диагонали квадрата пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Следовательно, длина отрезка OA равна половине диагонали:
OA=d/2=a2/2Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику △KOA, чтобы найти гипотенузу KA:
KA2=OK2+OA2Подставим известные значения:
KA2=b2+(a2/2)2Вычислим квадрат второго слагаемого:
(a2/2)2=a2·2/4=2a2/4=a2/2Таким образом:
KA2=b2+a2/2=2b2+a2/2Найдем KA, извлекая квадратный корень:
KA=2b2+a2/2=2b2+a2/2Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 2:
KA=2b2+a2·2/2·2=2(2b2+a2)/2=4b2+2a2/2Проверка размерности и логики: если b=0, то точка K совпадает с центром O, и расстояние должно быть равно OA=a2/2. Подставив b=0 в формулу, получаем 2a2/2=a2/2, что верно. Если a=0, то все вершины совпадают с центром, и расстояние равно b. Формула дает 4b2/2=2b/2=b, что также верно.
\frac{\sqrt{4b2+2a2}}{2}
Задача сводится к применению теоремы Пифагора дважды: сначала для нахождения половины диагонали квадрата, затем для нахождения расстояния от конца перпендикуляра до вершины. Ключ ответа подтверждает правильность алгебраических преобразований.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 120 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 120?
Краткий ответ: 4b^2 + 2a^22.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.