ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 124: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения.

Для доказательства равенства отрезков PQ и P₁Q₁ необходимо рассмотреть четырёхугольник PQQ₁P₁. Мы знаем, что прямая PQ параллельна плоскости β, а отрезки PP₁ и QQ₁ перпендикулярны этой плоскости. Наша задача — показать, что этот четырёхугольник является прямоугольником (или как минимум параллелограммом с равными противоположными сторонами), используя свойства перпендикуляров к плоскости.

Вычисление и доказательство.

1. По условию задачи прямые PP₁ и QQ₁ перпендикулярны плоскости β. Согласно теореме о том, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой, имеем: PP₁∥QQ₁
2. Так как PP₁∥QQ₁, то точки P,Q,Q_1,P₁ лежат в одной плоскости. Рассмотрим полученный четырёхугольник PQQ₁P₁.
3. Прямая PQ параллельна плоскости β по условию. Прямая P₁Q₁ лежит в плоскости β. Поскольку PP₁∥β и QQ₁∥β, то проекцией отрезка PQ на плоскость β является отрезок P₁Q₁.
4. Рассмотрим векторы или геометрические свойства. Так как PP₁∥QQ₁, то четырёхугольник PQQ₁P₁ является трапецией или параллелограммом. Но так как PQ∥β, а P₁Q₁∈β, то расстояние от любой точки прямой PQ до плоскости β постоянно. Это означает, что PQ∥P₁Q₁.
5. Если в четырёхугольнике PQQ₁P₁ противоположные стороны параллельны (PP₁∥QQ₁ и PQ∥P₁Q₁), то он является параллелограммом.
6. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, PQ=P₁Q₁

Проверка.

Логика построения верна: перпендикуляры к плоскости параллельны друг другу. Если одна из сторон четырехугольника (PQ) параллельна плоскости основания (β), а две другие стороны (PP_1,QQ₁) перпендикулярны основанию, то четвертая сторона (P₁Q₁) также параллельна первой (PQ). Таким образом, фигура PQQ₁P₁ представляет собой прямоугольник (так как углы при основании P₁ и Q₁ прямые, так как боковые стороны перпендикулярны плоскости, содержащей основание). В прямоугольнике противоположные стороны равны, что и требовалось доказать.