ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 128: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения.

Чтобы доказать перпендикулярность прямой OM к плоскости параллелограмма ABCD, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Нам нужно показать, что прямая OM перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых возьмём диагонали AC и BD. Для доказательства перпендикулярности будем использовать свойства равнобедренных треугольников и медиан.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник MAC. По условию задачи MA=MC, значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием AC. Точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма, а по свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, AO=OC, то есть отрезок MO является медианой, проведённой к основанию AC в равнобедренном треугольнике MAC. Известно, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой. Значит, MO⊥AC.

Аналогично рассмотрим треугольник MBD. По условию MB=MD, поэтому треугольник MBD равнобедренный с основанием BD. Так как O — середина диагонали BD (свойство параллелограмма), то BO=OD. Отрезок MO является медианой к основанию BD в равнобедренном треугольнике MBD. Следовательно, MO является и высотой, то есть MO⊥BD.

Мы получили, что прямая OM перпендикулярна двум прямым AC и BD, которые лежат в плоскости параллелограмма ABCD и пересекаются в точке O. Согласно теореме о перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна самой этой плоскости.

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальные свойства: 1) диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам; 2) в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой; 3) признак перпендикулярности прямой и плоскости. Все шаги выполнены корректно, противоречий нет. Утверждение доказано.