ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 131: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения.

Чтобы доказать перпендикулярность прямой BC и плоскости ADM, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Нам нужно показать, что прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых возьмём AM и DM. Для этого проанализируем свойства треугольников ABC и DBC, используя данные о равенстве сторон и том, что M — середина основания BC.

Ход доказательства.

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию AB=AC, значит, он является равнобедренным с основанием BC. Точка M — середина ребра BC, следовательно, отрезок AM является медианой, проведённой к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Значит, AM⊥BC.

2. Теперь рассмотрим треугольник DBC. По условию DB=DC, значит, он также является равнобедренным с основанием BC. Отрезок DM соединяет вершину D с серединой основания M, то есть является медианой. Аналогично предыдущему пункту, медиана к основанию равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию. Следовательно, DM⊥BC.

3. Мы получили, что прямая BC перпендикулярна двум прямым AM и DM, которые лежат в плоскости ADM и пересекаются в точке M. Согласно теореме о перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости), делаем вывод: BC⊥(ADM).

Проверка и итог.

Логика доказательства опирается на фундаментальные свойства равнобедренных треугольников и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Все условия задачи использованы: равенство боковых сторон в обоих треугольниках и положение точки M как середины общего основания. Противоречий нет. Таким образом, утверждение доказано.