ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 135: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся методом от противного или свойством единственности перпендикуляра. Нам дано: прямая a⊥ плоскости α, и при этом a⊥b. Прямая b не лежит в плоскости α. Нужно доказать параллельность b∥a.

Ход рассуждений:

1. По условию, прямая a перпендикулярна плоскости α. Это означает, что a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α и проходящей через основание перпендикуляра (точку пересечения a с α).

2. Рассмотрим прямую b. Она также перпендикулярна прямой a (a⊥b).

3. Вспомним теорему о единственности прямой, перпендикулярной к данной прямой в данной точке пространства. Однако здесь удобнее использовать другой подход: спроецируем прямую b на плоскость α или рассмотрим угол между прямой и плоскостью.

4. Более строгий геометрический путь: пусть точка A — это точка пересечения прямой a с плоскостью α. Так как a⊥α, то a перпендикулярна любой прямой в α, проходящей через A.

5. Предположим, что прямая b не параллельна прямой a. Тогда они либо пересекаются, либо скрещиваются. По условию они перпендикулярны, значит, они могут пересекаться под прямым углом или быть скрещивающимися перпендикулярами.

6. Если бы прямая b была параллельна плоскости α, то угол между b и a был бы равен углу между проекцией b на α и a, но так как a⊥α, то a перпендикулярна проекции. Это согласуется с условием.

7. Ключевой момент: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, они не обязательно параллельны друг другу в пространстве (например, оси координат). Но здесь есть ограничение: одна из прямых (a) перпендикулярна целой плоскости.

8. Докажем через векторы или свойства углов. Пусть n — вектор нормали к плоскости α. Так как a⊥α, то направляющий вектор прямой a коллинеарен n. Обозначим его v_a=kn.

9. По условию a⊥b, значит скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: v_a·v_b=0.

10. Подставим v_a: (kn)·v_b=0⇒n·v_b=0.

11. Условие n·v_b=0 означает, что вектор v_b перпендикулярен вектору нормали n. Следовательно, прямая b параллельна плоскости α или лежит в ней.

12. По условию задача говорит, что b не лежит в этой плоскости. Значит, b∥α.

13. Теперь вернемся к вопросу о параллельности b и a. Мы выяснили, что b∥α. А a⊥α. Может ли прямая, параллельная плоскости, быть перпендикулярной прямой, перпендикулярной этой плоскости? Да, может. Но всегда ли они параллельны?

14. Здесь кроется ловушка условия или опечатка в типовой задаче. Обычно в таких задачах требуется доказать, что b параллельна плоскости α. Если же требуется доказать b∥a, то это верно только если b также перпендикулярна плоскости α. Но по условию a⊥b. Если b∥a, то a⊥a, что невозможно для различных прямых.

Внимание! В условии задачи, вероятно, допущена неточность формулировки или подразумевается другая конфигурация. Стандартная теорема гласит: Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, параллельной этой плоскости. Обратное утверждение: Если прямая перпендикулярна к прямой, которая перпендикулярна к плоскости, то первая прямая параллельна плоскости.

Давайте перечитаем условие внимательно: «Докажите, что b∥a». Это математически неверно при данных вводных. Если a⊥α и a⊥b, то b может занимать любое положение в плоскости, перпендикулярной a. Эта плоскость параллельна α. Прямая b лежит в плоскости, перпендикулярной a. Следовательно, b перпендикулярна a. Две различные прямые не могут быть одновременно параллельны и перпендикулярны друг другу.

Скорее всего, в оригинальном источнике требовалось доказать, что b∥α (прямая b параллельна плоскости α), либо что a и b лежат в одной плоскости, перпендикулярной α? Нет.

Проверим альтернативную трактовку: возможно, имелось в виду, что b перпендикулярна a и b перпендикулярна какой-то прямой в α? Нет, условие четкое.

Единственный случай, когда вывод b∥a возможен — это если b тоже перпендикулярна α. Но тогда a⊥b превращается в a⊥a, что абсурд.

Вероятно, в задании №135 учебника (например, Атанасяна) ошибка в переписывании условия пользователем или в самом ключе. Типичное задание этого параграфа: «Прямая a перпендикулярна плоскости α. Прямая b параллельна прямой a. Докажите, что b⊥α».

Или: «Прямая a перпендикулярна плоскости α. Прямая b перпендикулярна прямой a. Докажите, что b∥α».

Так как я обязан решить строго по данному тексту, а данный текст содержит логическое противоречие (доказать параллельность двух взаимно перпендикулярных прямых), я должен указать на невозможность доказательства такого утверждения в общем случае, либо предположить, что в условии пропущено слово «плоскости» вместо «прямой» в выводе.

Однако, если мы посмотрим на похожие задачи, часто путают выводы. Давайте предположим, что нужно доказать b∥α . Это стандартный результат.

Но поле `short_answer` требует краткого ответа. Если условие именно такое, то ответ: «Утверждение ложно».

Тем не менее, в школьной практике иногда встречается формулировка: «...перпендикулярна к прямой b, параллельной этой плоскости...». Нет.

Рассмотрим вариант, что b лежит в плоскости, перпендикулярной a. Тогда b⊥a. Они не параллельны.

Я напишу решение для наиболее вероятного исправленного условия: Докажите, что b∥α , так как доказательство b∥a невозможно при a⊥b.

Но инструкция говорит: «считай строго по нему... если числа в условии дают другой результат, пиши свой». Логический результат: утверждение неверно.

Однако, чтобы быть полезным учителем, я покажу, почему это неверно, и приведу правильное следствие.

Разбор ситуации:

Дано: a⊥α, a⊥b, bnot⊂α. Требуется доказать: b∥a.

Контрпример: Пусть плоскость α — это горизонтальная плоскость xy. Прямая a — ось z. Тогда a⊥α. Пусть прямая b — это ось x. Тогда b лежит в плоскости xy? Нет, по условию b не лежит в α. Возьмем прямую b, параллельную оси x, но смещенную вверх по оси z. Например, y=0,z=1. Эта прямая параллельна оси x. Ось x перпендикулярна оси z (a). Значит, b⊥a. При этом b параллельна плоскости α (xy). Но b не параллельна a (ось z). Они перпендикулярны.

Следовательно, требование доказать b∥a является ошибочным.

Вероятная цель задания: доказать, что b∥α .

Решение для корректного вывода (b∥α):

1. Так как a⊥α, то a перпендикулярна любой прямой в α.
2. По условию a⊥b.
3. Рассмотрим плоскость β, проходящую через точку пересечения a и α и содержащую прямую b (или параллельную ей). Поскольку a⊥b, угол между ними 90^°.
4. Направляющий вектор v_a нормали к α. Условие v_a·v_b=0 означает, что v_b ортогонален нормали к α.
5. Если вектор направления прямой ортогонален вектору нормали плоскости, то сама прямая параллельна этой плоскости или лежит в ней.
6. По условию b не лежит в α.
7. Следовательно, b∥α.