ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 138: Перпендикулярность прямых и плоскостей

План решения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром к плоскости, наклонной и проекцией наклонной. Пусть PO — перпендикуляр к плоскости (P — точка вне плоскости, O — основание перпендикуляра), PA — наклонная (A — точка в плоскости), а OA — проекция наклонной. Угол между перпендикуляром и наклонной равен △POA=90^°, так как перпендикуляр перпендикулярен любой прямой в плоскости, проходящей через его основание. Следовательно, угол θ при вершине P (между PO и PA) является заданным углом β. В условии сказано, что угол между перпендикуляром и наклонной равен β. Значит, в прямоугольном треугольнике POA с прямым углом при O: гипотенуза — это наклонная PA, катет PO — перпендикуляр, катет OA — проекция. Угол при вершине P равен β.

Вычисление для пункта а).

Дано: перпендикуляр PO=d, угол между перпендикуляром и наклонной β. Нужно найти наклонную PA и её проекцию OA. В прямоугольном треугольнике POA: 1. Косинус угла β при вершине P равен отношению прилежащего катета (PO) к гипотенузе (PA): cosβ=PO/PA=d/PA Отсюда длина наклонной: PA=d/? Исправляем обозначение угла на β из условия задачи (в тексте использовался символ β, но в условии он назван β или другим символом? В условии написано "угол ... равен β". В ключах часто используется β или θ. Будем использовать β как дано в условии текста "угол ... равен β". Wait, in the prompt text it says "угол между ними равен β". Let's stick to β).\nActually, looking at the key provided: d/? and dtgβ. The symbol in the prompt is β (phi). Let's use β as per standard notation if not specified, but the prompt uses a specific character. I will use β for clarity or copy the symbol from the prompt. The prompt uses 'φ' (phi). So angle is β. cosβ=d/PA
RightarrowPA=d/?\nWait, the key says d/?. It likely means d/?. No, the key says `d/cos φ`. Okay.\nSo, PA=d/?. 2. Тангенс угла β равен отношению противолежащего катета (OA) к прилежащему катету (PO): tgβ=OA/PO=OA/d Отсюда длина проекции: OA=dtgβ

Вычисление для пункта б).

Дано: наклонная PA=m, угол между перпендикуляром и наклонной β. Нужно найти перпендикуляр PO и проекцию OA. В том же прямоугольном треугольнике POA: 1. Синус угла β равен отношению противолежащего катета (OA) к гипотенузе (PA)? Нет, угол β находится при вершине P. Прилежащий катет — PO, противолежащий — OA. cosβ=PO/PA=PO/m
RightarrowPO=mcosβ 2. Синус угла β равен отношению противолежащего катета (OA) к гипотенузе (PA): sinβ=OA/PA=OA/m
RightarrowOA=msinβ

Проверка.

Проверим согласованность результатов. Если мы подставим найденные значения в теорему Пифагора для пункта б): PO²+OA²=(mcosβ)²+(msinβ)²=m²(cos²β+sin²β)=m². Это верно, так как сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Для пункта а): PO²+OA²=d²+(dtgβ)²=d²(1+tg²β)=d²sec²β=d²/cos²β=PA². Результат совпадает с формулой PA=d/cosβ. Решения корректны.