ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 137: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые a и b, которые взаимно перпендикулярны. Нам нужно доказать существование плоскости β, проходящей через прямую a и перпендикулярной прямой b. Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Так как abotb, нам достаточно найти в искомой плоскости ещё одну прямую, перпендикулярную b.

Ход решения.

1. Возьмём произвольную точку M на прямой a. Через точку M проведём прямую c, параллельную прямой b (cbota не требуется, важно лишь направление). Поскольку a и b — скрещивающиеся, точка M не лежит на b, а прямая c проходит через M и параллельна b. 2. Так как по условию abotb, а cbotb (по определению угла между скрещивающимися прямыми или через параллельный перенос), то угол между a и c равен углу между a и b, то есть 90^o. Следовательно, abotc. 3. Теперь рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a и c. Эти прямые пересекаются в точке M. 4. Прямая b перпендикулярна прямой a (по условию задачи). 5. Прямая b перпендикулярна прямой c, так как cbotb (мы построили c параллельно b? Нет, стоп. Давайте переформулируем корректнее).

Корректировка логики: Возьмём точку A на прямой a. Через точку A проведём прямую l, параллельную прямой b. Так как abotb, то abotl. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a и l. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые a и l. Прямая b перпендикулярна прямой a (условие) и перпендикулярна прямой l (так как lbotb по построению параллели и перпендикулярности скрещивающихся). Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, bbotβ. При этом плоскость β содержит прямую a. Аналогично доказывается для прямой b.

Проверка и вывод.

Мы построили плоскость β, содержащую прямую a. В ней лежат две пересекающиеся прямые a и l, каждая из которых перпендикулярна прямой b. Это гарантирует, что bbotβ. Таким образом, через прямую a действительно проходит плоскость, перпендикулярная прямой b. Симметрично можно построить плоскость θ, содержащую b и перпендикулярную a. Утверждение доказано.