ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 139: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать утверждения для двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости
а) если наклонные равны, то равны и их проекции
б) если проекции равны, то равны и наклонные
в) если наклонные не равны, то у большей наклонной проекция больше.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства всех трёх утверждений воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть из точки A проведены две наклонные AB и AC к плоскости β. Опустим перпендикуляр AO на эту плоскость, где O — основание перпендикуляра. Тогда отрезки OB и OC являются проекциями наклонных AB и AC соответственно. Так как AObotβ, то треугольники AOB и AOC — прямоугольные с общим катетом AO.
Вычисление и доказательство по пунктам.
а) Если наклонные равны (AB=AC), то равны и их проекции.
В прямоугольных треугольниках AOB и AOC по теореме Пифагора имеем:
OB2=AB2-AO2 OC2=AC2-AO2Так как по условию AB=AC, то правые части равенств одинаковы. Следовательно, OB2=OC2, откуда следует, что OB=OC. Утверждение доказано.
б) Если проекции равны (OB=OC), то равны и наклонные.
Снова запишем выражения для квадратов гипотенуз (наклонных):
AB2=AO2+OB2 AC2=AO2+OC2По условию OB=OC, а катет AO является общим для обоих треугольников. Значит, суммы в правых частях равны: AO2+OB2=AO2+OC2. Отсюда получаем AB2=AC2, то есть AB=AC. Утверждение доказано.
в) Если наклонные не равны, то у большей наклонной проекция больше.
Пусть AB>AC. Выразим квадраты проекций через наклонные и высоту:
OB2=AB2-AO2 OC2=AC2-AO2Так как AB>AC, то и AB2>AC2. При вычитании одного и того же положительного числа AO2 из большего числа результат будет больше. Следовательно, AB2-AO2>AC2-AO2, то есть OB2>OC2. Поскольку длины отрезков положительны, это означает, что OB>OC. Утверждение доказано.
Проверка.
Логика опирается на свойства прямоугольных треугольников и монотонность квадратичной функции при положительных аргументах. Все три пункта являются взаимно обратными или следствиями друг друга в рамках одной геометрической конфигурации (общий катет). Ошибок в алгебраических преобразованиях нет.
Доказано с использованием теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных наклонными, их проекциями и общим перпендикуляром.
Задача стандартная, требует аккуратного оформления логических связей между равенством элементов треугольников. Важно подчеркнуть, что перпендикуляр к плоскости образует прямые углы со всеми линиями в этой плоскости, проходящими через его основание.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 139 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 139?
Краткий ответ: Доказано с использованием теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных наклонными, их проекциями и общим перпендикуляром.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.