ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 136: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства.

Обозначим середину отрезка AB точкой M. Нам нужно доказать два факта: во-первых, что прямая XM перпендикулярна прямой AB; во-вторых, что точка X лежит в плоскости β, проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой AB. Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости (теорема о том, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости) или свойством равнобедренного треугольника.

Ход решения.

Рассмотрим треугольник XAB. По условию задачи точка X равноудалена от концов отрезка AB, то есть XA=XB. Следовательно, треугольник XAB является равнобедренным с основанием AB.

Точка M — середина основания AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Значит, XM⊥AB.

Пусть β — плоскость, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой AB. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, любая прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через точку пересечения с AB (то есть через M), будет перпендикулярна AB. Но мы уже доказали, что XM⊥AB.

Существует единственная плоскость, проходящая через данную точку M и перпендикулярная данной прямой AB. Поскольку прямая XM проходит через точку M и перпендикулярна AB, она должна лежать в этой единственной плоскости β. Следовательно, точка X принадлежит плоскости β.

Проверка и вывод.

Мы показали, что из равенства XA=XB следует перпендикулярность XM и AB. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от двух данных точек, действительно представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки, и проходящую через его середину. Таким образом, утверждение доказано.