ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 132: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства:

• Обозначим две параллельные плоскости как α и β, а прямую — как a.
• По условию известно, что α∥β и a⊥α.
• Необходимо доказать, что a⊥β.
• Будем использовать определение перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ход решения:

1. Так как прямая a перпендикулярна плоскости α (a⊥α), то по определению она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости α. Пусть b — произвольная прямая в плоскости α. Тогда a⊥b.
2. Рассмотрим плоскость β. Возьмём в ней произвольную прямую c. Нам нужно показать, что a⊥c.
3. Проведём через точку пересечения прямой a с плоскостью β (или любую другую точку на прямой a) плоскость, пересекающую обе параллельные плоскости α и β. Линии пересечения этой вспомогательной плоскости с α и β будут параллельны друг другу, так как α∥β. Однако более простой путь опирается на свойство параллельных плоскостей.
4. Воспользуемся следующим фактом: если две плоскости параллельны, то любая прямая, перпендикулярная одной из них, перпендикулярна и другой. Докажем это строго для прямой c в плоскости β.
   Пусть прямая a пересекает плоскость β в точке O. Проведем через точку O прямую d, параллельную прямой c. Так как c⊂β, то и d можно считать направленной так же, как c. Но проще рассмотреть проекцию или угол.
   Давайте воспользуемся методом от противного или прямым доказательством через углы.
   Пусть a пересекает α в точке A, а β в точке B. Так как α∥β, то отрезок AB является частью прямой a.
   Возьмём в плоскости β произвольную прямую l, проходящую через точку B. Через прямую l и точку A проведём плоскость γ. Плоскость γ пересекает плоскость α по некоторой прямой m. Так как α∥β, то линии пересечения третьей плоскости с ними параллельны: m∥l.
5. Так как a⊥α, то a⊥m (прямая m лежит в α).
6. Так как m∥l и a⊥m, то a⊥l (если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой).
7. Мы показали, что прямая a перпендикулярна произвольной прямой l, проходящей через точку пересечения a с β и лежащей в β.
8. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, a⊥β.

Проверка и вывод:

Логика построена верно: мы использовали определение перпендикулярности прямой и плоскости, свойство параллельных плоскостей (параллельность линий пересечения с третьей плоскостью) и теорему о перпендикулярности прямой к параллельным прямым. Таким образом, утверждение доказано: если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.