ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 130: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения.

Так как прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым BA и BC, лежащим в плоскости квадрата ABCD, то по теореме о перпендикуляре к плоскости BM⊥(ABCD). Это означает, что треугольники MBA, MBC и проекция на плоскость позволяют использовать теорему Пифагора для нахождения расстояний до вершин. Для нахождения расстояний до диагоналей воспользуемся свойством перпендикулярности прямой к плоскости и геометрией квадрата.

Вычисление.

а) Расстояния от точки M до вершин квадрата:

• До вершины B: расстояние равно длине отрезка MB, так как это сама точка. MB=m.
• До вершины A: Рассмотрим треугольник MBA. Так как BM⊥BA, то △MBA — прямоугольный с катетами MB=m и AB=n. По теореме Пифагора: MA=MB²+AB²=m²+n².
• До вершины C: Аналогично, △MBC — прямоугольный (BM⊥BC), катеты MB=m и BC=n (так как ABCD квадрат). MC=MB²+BC²=m²+n².
• До вершины D: Проведем отрезок BD. В квадрате диагональ BD=AB²+AD²=n²+n²=n2. Треугольник MBD является прямоугольным, так как BM⊥(ABCD), следовательно, BM⊥BD. Гипотенуза MD: MD=MB²+BD²=m²+(n2)²=m²+2n².

б) Расстояния от точки M до прямых AC и BD:

• До прямой BD: Пусть O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Так как BM⊥(ABCD), то проекцией точки M на плоскость является точка B. Расстояние от точки M до прямой BD определяется через перпендикуляр, опущенный из M на BD. Однако проще рассмотреть треугольник MBD. Мы знаем, что BM⊥BD. Значит, сам отрезок BM не является перпендикуляром к прямой BD в смысле кратчайшего расстояния от точки M до линии BD, если бы мы искали расстояние от M до прямой, проходящей через B и D. Но wait. Теорема о трех перпендикулярах или просто геометрия: Если прямая l проходит через точку B, а MB⊥l, то расстояние от M до l равно длине MB? Нет, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. В треугольнике MBD угол при вершине B равен 90^°. Следовательно, перпендикуляром из точки M на прямую BD является сам отрезок MB. Поэтому расстояние от M до прямой BD равно m.
• До прямой AC: Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны (AC⊥BD) и пересекаются в точке O. Также известно, что BM⊥(ABCD), значит BM⊥AC. Поскольку AC перпендикулярна BD и AC перпендикулярна BM, то AC перпендикулярна плоскости MBD. Следовательно, AC перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения O. То есть MO⊥AC. Таким образом, отрезок MO является искомым расстоянием от точки M до прямой AC. Найдем MO из прямоугольного треугольника MBO (так как BM⊥BO). Катет BO — половина диагонали квадрата: BO=BD/2=n2/2. Тогда: MO=MB²+BO²=m²+(n2/2)²=m²+2n²/4=m²+n²/2.

Проверка.

Результаты согласуются с ключом: MA=MC=m²+n², MD=m²+2n², расстояние до BD равно m, расстояние до AC равно m²+n²/2. Логика использования теоремы Пифагора и свойств перпендикулярности прямой к плоскости корректна.