ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 133: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства. Доказательство состоит из двух частей: сначала мы покажем существование такой плоскости (что она действительно проходит через точку и перпендикулярна прямой), а затем докажем её единственность (что другой такой плоскости быть не может).

1. Существование.

• Пусть дана прямая a и произвольная точка пространства M.
• Через точку M проведём плоскость β, перпендикулярную прямой a. Это возможно сделать двумя способами:
• Если точка M лежит на прямой a, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости существует единственная плоскость, проходящая через эту точку и перпендикулярная данной прямой.
• Если точка M не лежит на прямой a, то опустим из точки M перпендикуляр MH на прямую a (где H — основание перпендикуляра). Через точку H проведём плоскость β, перпендикулярную прямой a. Так как MHbota и MH лежит в плоскости, проходящей через M и перпендикулярной a, то сама эта плоскость совпадает с β или параллельна ей? Нет, точнее: рассмотрим плоскость β, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой a. Построение: возьмем две пересекающиеся прямые в точке M, каждая из которых перпендикулярна прямой a (одну можно получить проекцией, другую — симметрией, но проще использовать аксиому). Согласно теореме о существовании перпендикуляра к прямой из точки, не лежащей на ней, и свойствам перпендикулярности, такая плоскость существует.

Более строгое обоснование существования: пусть O — произвольная точка на прямой a. Проведем через O плоскость β₀bota. Если M∉a, спроектируем M на β₀ вдоль направления a? Нет. Просто: через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Это следует из того, что вектор нормали к прямой задает направление для нормального вектора плоскости. Плоскость с нормальным вектором, коллинеарным прямой a, и проходящая через M, существует и единственна.

2. Единственность.

1. Допустим, противное: через точку M проходят две различные плоскости β₁ и β₂, обе перпендикулярные прямой a.
2. Так как β₁bota и β₂bota, то прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в этих плоскостях и проходящей через точку пересечения с a (или через проекцию).
3. Рассмотрим случай, когда M лежит на прямой a. Тогда β₁ и β₂ проходят через M и перпендикулярны a. Возьмем в плоскости β₁ прямую b₁, проходящую через M, а в β₂ — прямую b₂, проходящую через M. По условию abotb₁ и abotb₂. Значит, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым b₁ и b₂, лежащим в одной плоскости? Нет, b₁ и b₂ могут лежать в разных плоскостях. Но если β₁≠β₂, то они пересекаются по некоторой прямой c, проходящей через M. В плоскости β₁ есть прямая l₁botc, в β₂ — l₂botc. Это усложняет доказательство.
4. Проще использовать свойство параллельности. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой (β₁||β₂). Действительно, если бы они пересекались, то линия пересечения была бы перпендикулярна прямой a? Нет. Теорема: две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Доказательство: пусть β₁bota и β₂bota. Предположим, β₁ и β₂ пересекаются по прямой l. Выберем точку P на l. Через P в β₁ проведем прямую mbotl, в β₂ — nbotl. Это не приводит сразу к противоречию с a.
5. Вернемся к классическому доказательству от противного для единственности. Пусть через точку M проходят две различные плоскости β₁ и β₂, перпендикулярные прямой a. Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой l, проходящей через M. Поскольку β₁bota, то abotl (так как l лежит в β₁). Аналогично, поскольку β₂bota, то abotl. Таким образом, мы имеем одну и ту же прямую l, перпендикулярную a. Это не противоречие.
6. Однако, ключевой момент: если плоскость перпендикулярна прямой, то она содержит все прямые, проходящие через точку пересечения с этой прямой и перпендикулярные ей? Нет. Определение: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Следовательно, если β₁bota, то любая прямая в β₁, проходящая через точку K=β₁bigcapa, перпендикулярна a. То же самое для β₂. Если M не лежит на a, пусть K₁ и K₂ — основания перпендикуляров из M на a? Нет, перпендикуляр из точки к прямой единственный. Пусть H — проекция M на a. Тогда MHbota. Любая плоскость, содержащая MH и перпендикулярная a? Нет. Плоскость β перпендикулярна a, если a перпендикулярна двум пересекающимся прямым в β. Одна из них — MH. Вторая должна быть перпендикулярна a. Все такие вторые прямые должны лежать в плоскости, перпендикулярной a и проходящей через H. Эта плоскость единственна. Точка M лежит в ней. Значит, β обязана совпадать с этой единственной плоскостью.

Проверка.

Мы использовали факт, что перпендикуляр из точки к прямой уникален. Пусть H — основание перпендикуляра из M на a. Рассмотрим плоскость β, проходящую через H и перпендикулярную a. Такая плоскость единственна (по определению перпендикулярности прямой и плоскости через точку на прямой). Так как MHbota, то точка M лежит в плоскости β (так как β содержит все точки, чья проекция на a есть H? Нет, β содержит все прямые в H, перпендикулярные a. Отрезок MH лежит в одной из таких прямых? Да, так как MHbota. Следовательно, Mβ. Таким образом, плоскость β проходит через M и перпендикулярна a. Любая другая плоскость β′, проходящая через M и перпендикулярная a, должна содержать перпендикуляр MH и быть перпендикулярной a в точке H. Но через точку H проходит только одна плоскость, перпендикулярная a. Значит, β′=β. Утверждение доказано.