ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 129: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения:

• Для пункта а) воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
• Для пункта б) используем свойство перпендикулярной прямой: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Решение:

а) Рассмотрим прямую BD и плоскость AMO. Нам нужно доказать, что BD⊥(AMO).

1. По условию задачи ABCD — квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, BD⊥AC. Так как точка O лежит на диагонали AC, то BD⊥AO.
2. По условию прямая AM перпендикулярна плоскости квадрата (ABCD). Прямая BD лежит в плоскости (ABCD). По определению перпендикулярности прямой и плоскости, AM⊥BD.
3. Таким образом, прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AO и AM, которые лежат в плоскости AMO (так как A,M,O определяют эту плоскость).
4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, BD⊥(AMO).

б) Докажем, что MO⊥BD.

1. Из пункта а) мы установили, что прямая BD перпендикулярна плоскости AMO (BD⊥(AMO)).
2. Прямая MO лежит в плоскости AMO (так как точки M и O принадлежат этой плоскости).
3. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
4. Следовательно, BD⊥MO, или равносильно MO⊥BD.

Проверка:

Логика опирается на фундаментальные свойства квадрата (перпендикулярность диагоналей) и определение/признак перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Все шаги обоснованы теоремами стереометрии.