ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 127: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна плоскости ABC. Требуется доказать, что CD ⊥ AC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства перпендикулярности прямой CD и прямой AC воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Нам известно, что прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Это означает, что BD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B, включая отрезок AB. Если мы сможем показать, что наклонная AD (или проекция) связана с прямым углом при вершине C, то получим искомое соотношение. Однако более прямой путь — использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости или свойства прямоугольного треугольника.
Давайте проанализируем углы. По условию △ABC такой, что sum(angleA+angleB)=90o. Так как сумма всех углов треугольника равна 180o, то угол C равен:
angleC=180o-(angleA+angleB)=180o-90o=90oСледовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C, то есть BCbotAC.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим взаимное расположение прямых:
- По условию задачи прямая BD перпендикулярна плоскости ABC (BDbotплоскость ABC).
- Прямая AC лежит в плоскости ABC.
- Из пункта 1 следует, что BD перпендикулярна любой прямой в плоскости ABC, в том числе и прямой AC. То есть BDbotAC.
- Мы уже установили, что в основании пирамиды (треугольнике ABC) угол C прямой, значит BCbotAC.
- Теперь у нас есть две пересекающиеся прямые BD и BC, которые обе перпендикулярны прямой AC. Эти две прямые определяют плоскость DBC.
- Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, ACbotплоскость DBC.
- Так как прямая CD лежит в плоскости DBC, а AC перпендикулярна всей этой плоскости, то AC перпендикулярна любой прямой в ней, включая CD.
Таким образом, CDbotAC.
Проверка.
Логика вывода непротиворечива. Мы использовали факт, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90o, чтобы определить тип треугольника ABC. Затем применили определение перпендикулярности прямой к плоскости для линии BD. Ключевым шагом стало применение признака перпендикулярности прямой и плоскости: так как AC перпендикулярна BC (в основании) и AC перпендикулярна BD (так как BDbotплоскость), то AC перпендикулярна плоскости, содержащей BC и BD, то есть плоскости DBC. Отсюда автоматически следует перпендикулярность AC и CD. Доказательство завершено.
Доказано: CD ⊥ AC
Использована теорема о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала установлено, что треугольник ABC прямоугольный (угол C = 90). Далее показано, что AC перпендикулярна BD (так как BD перпендикулярна всей плоскости) и AC перпендикулярна BC. Значит, AC перпендикулярна плоскости BDC, а следовательно, и прямой CD в ней.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 127 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 127?
Краткий ответ: Доказано: CD ⊥ AC.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.