ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 125: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План решения.

Так как прямые PP₁ и QQ₁ перпендикулярны одной и той же плоскости β, они параллельны между собой. Следовательно, точки P,Q,Q_1,P₁ лежат в одной плоскости, образуя прямоугольную трапецию (или вырожденный случай), где основаниями являются отрезки PP₁ и QQ₁, а боковой стороной — отрезок PQ. Искомый отрезок P₁Q₁ является другой боковой стороной этой трапеции, лежащей в плоскости β.

Вычисление.

Проведем через точку P прямую, параллельную P₁Q₁, до пересечения с прямой QQ₁ (или её продолжением). Пусть точка пересечения будет K. Тогда четырехугольник PKQ₁P₁ — прямоугольник, поэтому PK=P₁Q₁ и Q₁K=PP₁=21,5 см.

Рассмотрим треугольник PKQ. Так как PP₁botβ и QQ₁botβ, то проекцией наклонной PQ на плоскость β является отрезок P₁Q₁. Однако более простой путь — использовать теорему Пифагора для пространственной конфигурации или разложить вектор PQ.

Давайте спроецируем отрезок PQ на направление, перпендикулярное плоскости β, и на саму плоскость β. Длина проекции на нормаль к плоскости равна разности длин перпендикуляров: |QQ₁-PP₁|=|33,5-21,5|=12 см.

Длина самого отрезка PQ равна 15 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного отрезком PQ, его проекцией на плоскость (P₁Q₁) и разностью высот (12 см):

Проверка.

Полученный ответ совпадает с ключом из учебника. Геометрическая интерпретация верна: если бы точки P и Q находились на одинаковом расстоянии от плоскости, то P₁Q₁ было бы равно PQ. Здесь же есть перепад высот в 12 см, который «съедает» часть длины наклонного отрезка, оставляя горизонтальную составляющую 9 см. Треугольник со сторонами 9, 12, 15 является прямоугольным (9²+12²=81+144=225=15²), что подтверждает правильность вычислений.