ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 134: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

План доказательства. Для решения задачи нам нужно показать два факта: 1) Существует единственная плоскость α, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a. 2) Любая прямая b, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a, лежит в этой плоскости α. Будем использовать определение перпендикулярности прямой и плоскости и признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ход рассуждений. Пусть дана прямая a и точка M, лежащая на ней. По теореме о существовании плоскости, перпендикулярной данной прямой в данной точке, существует единственная плоскость α, которая проходит через точку M и перпендикулярна прямой a. Это значит, что по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α и проходящей через точку пересечения (точку M).

Теперь возьмём произвольную прямую b, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой a. Нам нужно доказать, что прямая b лежит в плоскости α. Предположим противное: пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда прямая b пересекает плоскость α только в одной точке — точке M. Рассмотрим плоскость β, образованную параллельными прямыми или пересекающимися... Нет, проще так: Прямая a перпендикулярна плоскости α. Значит, она перпендикулярна любой прямой в α, проходящей через M. Пусть c — любая такая прямая в α. Тогда a⊥c. По условию a⊥b. Если бы прямая b не лежала в α, то мы могли бы провести через точку M в плоскости, определяемой прямыми a и b, прямую b′. Но это усложняет. Давайте воспользуемся более строгим геометрическим аргументом. Возьмём любую прямую l, лежащую в плоскости α и проходящую через точку M. Так как a⊥α, то a⊥l. Также по условию a⊥b. Это означает, что прямые b и l обе перпендикулярны прямой a в точке M. Однако, чтобы доказать, что b лежит в α, достаточно заметить следующее: Плоскость α определяется как множество всех точек пространства, для которых вектор нормали совпадает с направлением прямой a (или используя аксиоматику). Строго по учебнику геометрии Атанасяна: Доказательство ведётся от противного или через свойство единственности. Пусть b — прямая, проходящая через M и перпендикулярная a. Допустим, b не лежит в плоскости α, перпендикулярной a в точке M. Тогда прямая b образует с плоскостью α некоторый угол, отличный от нуля. Но если a⊥α, то проекция прямой b на плоскость α будет иметь длину, меньшую самой b (если b не в α). Более простой путь: Рассмотрим плоскость γ, проходящую через прямые a и b. В этой плоскости через точку M проведена прямая b, перпендикулярная a. Плоскость α перпендикулярна a. Значит, линия пересечения плоскостей γ и α (обозначим её m) также перпендикулярна a (так как a⊥α⇒a⊥m). В плоскости γ через точку M проходят две прямые b и m, обе перпендикулярные прямой a. По аксиоме планиметрии (в плоскости γ), через точку M можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной (a). Следовательно, прямые b и m совпадают. Так как прямая m является линией пересечения плоскости γ и плоскости α, то m лежит в плоскости α. Значит, и прямая b (совпадающая с m) лежит в плоскости α.

Проверка и вывод. Мы показали, что для любой прямой b, удовлетворяющей условиям (проходит через M, перпендикулярна a), она должна совпадать с линией пересечения плоскости, содержащей a и b, с искомой плоскостью α. Поскольку эта линия пересечения по определению принадлежит α, то и сама прямая b принадлежит α. Таким образом, все такие прямые лежат в одной плоскости α, перпендикулярной a в точке M.