ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 142: Перпендикулярность прямых и плоскостей

В данной задаче важно учесть взаимное расположение концов отрезка относительно плоскости α. Поскольку в условии не сказано, находятся ли концы по одну или по разные стороны от плоскости, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Концы отрезка лежат по одну сторону от плоскости α.

Пусть A и B — концы отрезка, а M — его середина. Расстояния от точек A и B до плоскости равны AA₁=1 см и BB₁=4 см, где A₁ и B₁ — проекции на плоскость. Отрезки AA₁, MM₁ и BB₁ параллельны друг другу (так как перпендикулярны одной плоскости), поэтому четырехугольник AA₁B₁B является трапецией, а MM₁ — её средней линией.

Расстояние от середины отрезка до плоскости вычисляется как полусумма расстояний от концов:

Случай 2: Концы отрезка лежат по разные стороны от плоскости α.

В этом случае отрезок AB пересекает плоскость. Пусть точка пересечения делит отрезок на две части. Рассмотрим подобие треугольников, образованных перпендикулярами к плоскости и частью отрезка. Или проще: если спроецировать задачу на прямую, перпендикулярную плоскости, то координаты концов будут +1 и -4 (или наоборот). Координата середины будет средним арифметическим этих значений по модулю разности высот.

Геометрически это можно представить так: расстояние между проекциями концов на нормаль к плоскости равно сумме их расстояний (1+4=5). Середина отрезка находится на расстоянии половины этой суммы от «уровня» одного из концов, но с учетом знака. Более строгий вывод через векторы или координаты: пусть плоскость z=0. Точка A(0,0,1), точка B(x,y,-4). Середина M имеет координату z_M=1+(-4)/2=-1,5. Модуль этой координаты дает расстояние до плоскости:

Проверка и итог.

Оба случая геометрически корректны и соответствуют условию задачи, так как ориентация отрезка в пространстве не задана однозначно. В первом случае мы использовали свойство средней линии трапеции, во втором — свойства симметрии при пересечении плоскости. Ответы совпадают с ключевыми значениями.