ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 146: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Прямая a пересекает плоскость α в точке M и не перпендикулярна этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку M проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой a.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для решения задачи воспользуемся методом от противного и теоремой о трёх перпендикулярах. Нам нужно показать единственность прямой в плоскости α, проходящей через точку M и перпендикулярной наклонной a. Сначала докажем существование такой прямой, а затем её единственность.
Ход рассуждений.
- Проведём из точки A (произвольная точка на прямой a, отличная от M) перпендикуляр AO к плоскости α. Точка O является проекцией точки A на плоскость α.
- Так как прямая a не перпендикулярна плоскости α, то точка O не совпадает с точкой M. Следовательно, прямая OM лежит в плоскости α и проходит через точку M.
- Рассмотрим прямую b, лежащую в плоскости α и проходящую через точку M так, что b⊥OM. По теореме о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости (b) перпендикулярна проекции наклонной (OM), то она перпендикулярна самой наклонной (a). Таким образом, мы нашли одну такую прямую b.
- Докажем единственность. Предположим, что существует другая прямая c в плоскости α, проходящая через M и перпендикулярная прямой a (c⊥a).
- По обратной теореме о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости (c) перпендикулярна наклонной (a), то она перпендикулярна проекции этой наклонной (OM). То есть c⊥OM.
- В плоскости α через точку M можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой OM. Поскольку и b, и c проходят через M и перпендикулярны OM, они должны совпадать.
Проверка и вывод.
Мы показали, что любая прямая в плоскости α, перпендикулярная наклонной a, обязана быть перпендикулярна проекции OM. В евклидовой геометрии на плоскости через данную точку к данной прямой восстанавливается единственный перпендикуляр. Следовательно, предположение о наличии двух различных таких прямых ведёт к противоречию.
Ответ: Доказано, что такая прямая единственна.
Доказано с использованием теоремы о трёх перпендикулярах и её обратной.
Задача требует строгого логического вывода. Ключевые моменты: 1) определение проекции наклонной; 2) применение прямой теоремы о трёх перпендикулярах для существования; 3) применение обратной теоремы для ограничения множества возможных прямых; 4) использование аксиомы единственности перпендикуляра на плоскости.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 146 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 146?
Краткий ответ: Доказано с использованием теоремы о трёх перпендикулярах и её обратной.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.