ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 149: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Нам нужно найти расстояния от точек A и D до прямой BC. Для этого воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и теоремой о трёх перпендикулярах (или просто свойством перпендикулярности прямой к плоскости).

Вычисление расстояния от точки A до прямой BC.

Пусть M — середина основания BC в треугольнике ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=AC=5 см), то медиана AM, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, AM⊥BC, и длина отрезка AM есть искомое расстояние от точки A до прямой BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Катет BM равен половине гипотенузы BC: BM=6/2=3 см . По теореме Пифагора найдём катет AM: AM=AB²-BM²=5²-3²=25-9=16=4 см .

Вычисление расстояния от точки D до прямой BC.

По условию отрезок AD перпендикулярен плоскости ABC. Это значит, что AD перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой BC. Мы уже установили, что AM⊥BC. Таким образом, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и AM плоскости ADM. Следовательно, BC перпендикулярна всей плоскости ADM, а значит, и прямой DM, лежащей в ней. Отсюда следует, что DM⊥BC, и длина отрезка DM есть расстояние от точки D до прямой BC. Рассмотрим треугольник ADM. Так как AD⊥ плоскость ABC, то AD⊥AM. Значит, треугольник ADM — прямоугольный с прямым углом при вершине A. Катеты равны: AD=12 см, AM=4 см. Найдём гипотенузу DM по теореме Пифагора: DM=AD²+AM²=12²+4²=144+16=160. Упростим выражение: 160=16·10=410 см .

Проверка.

Логика построения верна: высота равнобедренного треугольника даёт первое расстояние, а применение свойства перпендикулярности прямой к плоскости позволяет свести второе расстояние к гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного заданным перпендикуляром и найденной высотой. Числовые расчёты корректны.