ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 152: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Так как BF⊥(ABCD), то по теореме о трёх перпендикулярах: если из основания перпендикуляра (B) провести перпендикуляр к стороне квадрата, то наклонная из вершины F к этой стороне также будет перпендикулярна ей. Нам нужно найти расстояния от F до шести прямых: сторон AB, BC, CD, DA и диагоналей AC, BD. Дано: BF=8 дм, сторона квадрата a=AB=4 дм.

Вычисление расстояний до сторон квадрата.

1. До прямой AB: В квадрате ABCD сторона CB⊥AB. По теореме о трёх перпендикулярах, так как FB⊥(ABCD) и CB⊥AB, то FC⊥AB. Значит, расстояние от F до AB равно длине отрезка FC. Из прямоугольного треугольника FBC: FC=FB²+BC²=8²+4²=64+16=80=45 дм .
2. До прямой BC: Аналогично, AB⊥BC. Тогда FA⊥BC. Расстояние равно FA. Из треугольника FBA: FA=FB²+BA²=8²+4²=80=45 дм .
3. До прямой CD: Прямая CD параллельна AB. Расстояние от точки B до прямой CD равно стороне квадрата BC=4 дм. Пусть K — проекция B на CD (точка C). Тогда FK — искомый перпендикуляр. Треугольник FBK прямоугольный (FB⊥BK): FK=FB²+BK²=8²+4²=80=45 дм . Примечание: Здесь важно не запутаться. Расстояние от F до CD находится через проекцию F на плоскость (точку B). Кратчайшее расстояние от B до CD — это BC=4. Тогда наклонная FC перпендикулярна CD. Да, мы уже считали FC выше. Но подождите, в условии ключа есть числа 8 и 62. Давайте проверим остальные стороны.
4. До прямой DA: Аналогично предыдущему пункту. Проекция F на плоскость — точка B. Расстояние от B до DA равно BA=4 дм. Искомое расстояние — это длина наклонной FD. В △FAD угол при A прямой? Нет. Теорема о трёх перпендикулярах: FB⊥(ABCD), BA⊥AD⇒FA⊥AD. Значит, расстояние от F до AD равно FA. Мы нашли FA=45 дм.

Итак, расстояния до всех четырёх сторон равны 45 дм. Однако в ключе ответа указано два значения 45, одно 8 и другие. Пересмотрим геометрию. Возможно, я неверно интерпретировал «расстояние до прямой». Расстояние от точки до прямой — это всегда перпендикуляр.

Давайте аккуратно применим ТТП для каждой прямой:

• Прямая AB: FB⊥AB (так как FB⊥ плоскости). Значит, расстояние от F до AB равно самому отрезку FB=8 дм. (Ошибка в первом пункте плана: я искал FC, но FC не перпендикулярна AB, перпендикулярна AB сама FB, так как B лежит на AB).
• Прямая BC: FB⊥BC (так как B лежит на BC). Расстояние от F до BC равно FB=8 дм.
• Прямая CD: B не лежит на CD. Опустим перпендикуляр из B на CD — это BC. По ТТП, FC⊥CD. Расстояние равно FC=FB²+BC²=64+16=80=45 дм.
• Прямая DA: B не лежит на DA. Опустим перпендикуляр из B на DA — это BA. По ТТП, FA⊥DA. Расстояние равно FA=FB²+BA²=64+16=80=45 дм.

Вычисление расстояний до диагоналей.

1. До прямой BD: Точка B лежит на диагонали BD. Поскольку FB⊥(ABCD), то FB⊥BD. Следовательно, расстояние от F до прямой BD равно длине перпендикуляра FB=8 дм.
2. До прямой AC: Точка B не лежит на AC. Пусть O — центр квадрата (пересечение диагоналей). Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому BO⊥AC. По теореме о трёх перпендикулярах, так как FB⊥(ABCD) и BO⊥AC, то FO⊥AC. Значит, расстояние от F до AC равно длине отрезка FO. Найдем BO. Это половина диагонали квадрата со стороной 4. Диагональ d=a2=42 дм. BO=d/2=22 дм. Теперь найдем FO из прямоугольного треугольника FBO: FO=FB²+BO²=8²+(22)²=64+8=72=62 дм .

Проверка и итог.

Соберем полученные результаты:

• Расстояние до AB: 8 дм.
• Расстояние до BC: 8 дм.
• Расстояние до CD: 45 дм.
• Расстояние до DA: 45 дм.
• Расстояние до BD: 8 дм.
• Расстояние до AC: 62 дм.

Множество значений: {8;8;45;45;8;62}. Сортируем или группируем как в ключе: 8 дм, 8 дм, 8 дм, 45 дм, 45 дм, 62 дм. В ключе ответа порядок может отличаться, но набор чисел совпадает полностью: три раза 8, два раза 45, один раз 62.