ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 156: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Чтобы найти расстояние от точки D до прямой AB, нужно построить перпендикуляр из точки D на прямую AB. Для этого воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Сначала опустим перпендикуляр CH из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. Так как CD⊥(ABC), то проекцией наклонной DH на плоскость треугольника является отрезок CH. Если CH⊥AB, то и наклонная DH⊥AB. Следовательно, длина отрезка DH — это и есть искомое расстояние.

Вычисление.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (∠C=90^°). По условию катет AC=m (так как угол φ прилежащий к нему, обычно подразумевается угол A, но даже если угол B, формула симметрична относительно синуса противолежащего угла или косинуса прилежащего; давайте уточним: "прилежащий к нему острый угол" означает, что если катет m, то угол между этим катетом и гипотенузой равен φ. Пусть AC=m, тогда ∠A=φ).

В треугольнике ABC высота CH, опущенная на гипотенузу, может быть найдена через площадь или тригонометрию. В прямоугольном треугольнике ACH (где ∠H=90^°):

2. Теперь рассмотрим треугольник DCH. Так как CD перпендикулярна плоскости ABC, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку C. Значит, CD⊥CH, и треугольник DCH — прямоугольный с прямым углом при вершине C.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу DH:

Проверка.

Размерности совпадают: под корнем стоят квадраты длин (n² и m²), результат имеет размерность длины. При n=0 точка D совпадает с C, и расстояние равно высоте CH=msinφ, что верно для расстояния от вершины прямого угла до гипотенузы. Формула логична и согласуется с геометрическим смыслом задачи.