ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 158: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нам нужно найти расстояния от точки M до четырёх сторон ромба: AB, BC, CD и DA. Поскольку BM⊥(ABCD), то по теореме о трёх перпендикулярах расстояние от M до любой стороны ромба можно вычислить через расстояние от B до этой стороны. Если BH — перпендикуляр из B на сторону, а MH — перпендикуляр из M на ту же сторону, то треугольник MBH прямоугольный с катетами BM и BH. Тогда искомое расстояние d=MH=BM²+BH².

Вычисления для каждой стороны.

1. До прямой AB: Точка B лежит на прямой AB, поэтому расстояние от B до AB равно нулю (BH₁=0). Следовательно, расстояние от M до AB равно длине самого перпендикуляра BM: d_AB=BM=12,5 см .
2. До прямой BC: Аналогично, точка B лежит на прямой BC, поэтому расстояние от B до BC равно нулю (BH₂=0). Расстояние от M до BC: d_BC=BM=12,5 см .
3. До прямой AD: Проведём перпендикуляр BH₃ из вершины B на сторону AD. В прямоугольном треугольнике ABH₃ гипотенуза AB=25 см, угол ∠BAH₃=∠BAD=60^°. Катет BH₃ лежит против угла 60^°, но проще использовать синус угла при вершине A в треугольнике ABD или просто проекцию. В △ABH₃: BH₃=AB·sin(∠BAD)=25·sin(60^°)=25·3/2≈21,65 см . Однако давайте проверим геометрию ромба. Диагональ BD делит угол A? Нет. Рассмотрим △ABD. Так как AB=AD и ∠A=60^°, то △ABD равносторонний. Высота BH₃ проведена к стороне AD. В равностороннем треугольнике со стороной a=25 высота равна h=a3/2. Но подождите, ключ говорит про целые числа. Давайте перечитаем условие внимательно. AB=25, ∠BAD=60^°. Расстояние от B до AD действительно 25sin60^°. Это не дает красивого числа с BM=12.5.
   Давайте посмотрим на другую пару сторон. Может быть, я неправильно определил углы? В ромбе соседние углы в сумме дают 180^°. Значит, ∠ABC=120^°. Расстояние от B до CD? Стороны AB и CD параллельны. Расстояние между ними равно высоте ромба. Расстояние от B до CD равно расстоянию от A до CD? Нет. Пусть H₄ — основание перпендикуляра из B на CD. Так как AB∥CD, то расстояние от B до CD равно расстоянию от A до CD? Нет, это расстояние между параллельными прямыми AB и CD. Оно равно высоте ромба, опущенной на сторону CD. В △BHC (где H на CD)? Лучше рассмотреть угол C. ∠C=∠A=60^°. В △BCH (прямоугольный): BC=25, ∠C=60^°. Тогда BH₄=BC·sin(60^°)=253/2. Опять иррациональное число.
   Пересмотр условия и ключа. Ключ: 12,5; 12,5; 25; 25. Число 25 получается, если BH=25²-12.5²? Или если само расстояние от B до стороны равно чему-то специфическому? Если расстояние от M до стороны равно 25, то 12.5²+BH²=25⇒156.25+BH²=625⇒BH²=468.75. Это не похоже на стандартную высоту. А что, если угол BAD не 60^°, а такой, что высота равна половине стороны? Нет, в условии четко сказано 60^°. Давайте проверим вариант, где сторона ромба может быть другой? Нет, AB=25. Возможно, в задаче подразумевается, что мы ищем расстояния до диагоналей ? Нет, «до прямых, содержащих стороны». Есть ли ошибка в трактовке угла? Если бы ∠BAD=90^° (квадрат), то расстояния были бы другими. Давайте попробуем другой подход. Может быть, BM не 12.5, а другое? Нет, дано. Рассмотрим возможность того, что в оригинальной задаче угол был другим или данные подобраны так, чтобы получить ответ 25. Если ответ 25, то MH=25. MH²=BM²+BH². 625=156.25+BH²→BH²=468.75→BH≈21.65. А 25sin60^°≈21.65. То есть математически всё верно! BH=253/2. Тогда MH=(12.5)²+(253/2)²=625/4+1875/4=2500/4=625=25. Отлично! Я зря сомневался. Квадрат корня из трех дает рациональное число при сложении с квадратом половины. Итак: BH₃=25·3/2 MH₃=12.5²+(253/2)²=625/4+1875/4=2500/4=625=25 см .
4. До прямой CD: Расстояние от B до CD также является высотой ромба, проведенной из вершины B. Так как AB∥CD, расстояние от B до CD равно расстоянию от A до CD? Нет, это просто высота h_b. В ромбе все высоты равны. Мы уже нашли, что высота ромба h=25sin60^°=253/2. Значит, BH₄=253/2. По той же формуле Пифагора: d_CD=BM²+BH24=25 см .

Проверка и итог.

Мы получили четыре значения: 1. До AB: 12,5 см. 2. До BC: 12,5 см. 3. До AD: 25 см. 4. До CD: 25 см. Это полностью совпадает с ключом. Логика верна: для сторон, проходящих через точку B, расстояние минимально и равно высоте пирамиды BM. Для противоположных сторон расстояние больше, так как добавляется горизонтальная составляющая (высота основания ромба).